《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

例5 已知 $b$ g 糖水中有 $a$ g 糖 $(b ＞ a ＞ 0)$，若再添加 $m$ g 糖 $(m ＞ 0)$ 溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度变大）。试根据这个事实写出 $a,b,m$ 所满足的不等关系，并给予证明。

答案： $\frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}(b ＞ a ＞ 0$，且 $m ＞ 0)$，证明略

跟踪训练
某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克 $a$ 元，二级小麦每千克 $b$ 元 $(b ＜ a)$。现有一级小麦 $m$ kg，二级小麦 $n$ kg，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？

答案： 当 $m ＞ n$ 时，粮食收购站占便宜；当 $m = n$ 时，一样；当 $m ＜ n$ 时，粮食收购站吃亏。

1. 与 $a ＞ b$ 等价的不等式是(D)

A.$|a| ＞ |b|$
B.$a^{2} ＞ b^{2}$
C.$\frac{a}{b} ＞ 1$
D.$a^{3} ＞ b^{3}$

答案： 1.D

2. 如果 $a ＜ b ＜ 0$，那么下列不等式成立的是(A)

A.$-\frac{1}{a} ＜ -\frac{1}{b}$
B.$ab ＜ b^{2}$
C.$-ab ＜ -a^{2}$
D.$|a| ＜ |b|$

答案： 2.A

3. (多选)(2025 株洲期末)已知 $x ＞ 0,y ＜ 0,z ＜ 0$，则下列不等式恒成立的是(BC)

A.$x ＞ yz$
B.$xz ＜ yz$
C.$\frac{z}{x} ＜ \frac{z}{y}$
D.$\frac{x}{y} ＜ \frac{z}{z}$

答案： 3.BC

4. (2024 上海嘉定月考)给出下列命题：①若 $ab ＞ 0,a ＞ b$，则 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$；②若 $a ＞ b,c ＞ d$，则 $a - c ＞ b - d$；③对于正数 $a,b,m$，若 $a ＞ b$，则 $\frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$。其中真命题的序号是①③。

答案： 4.①③

5. 下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因。
甲：因为 $-6 ＜ a ＜ 8,-4 ＜ b ＜ 2$，
所以 $-2 ＜ a - b ＜ 6$。
乙：因为 $2 ＜ b ＜ 3$，所以 $\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{b} ＜ \frac{1}{2}$。
又 $-6 ＜ a ＜ 8$，所以 $-2 ＜ \frac{a}{b} ＜ 4$。
丙：因为 $2 ＜ a - b ＜ 4$，所以 $-4 ＜ b - a ＜ -2$。
又 $-2 ＜ a + b ＜ 2$，所以 $0 ＜ a ＜ 3,-3 ＜ b ＜ 0$，
所以 $-3 ＜ a + b ＜ 3$。

答案： 甲：不对。
错误原因：已知$-6 ＜ a ＜ 8$，$-4 ＜ b ＜ 2$，则$-b$的范围应为$-2 ＜ -b ＜ 4$，$a - b = a + (-b)$，同向不等式相加得$-6 + (-2) ＜ a - b ＜ 8 + 4$，即$-8 ＜ a - b ＜ 12$，甲未正确计算$-b$的范围导致结果错误。
乙：不对。
错误原因：由$2 ＜ b ＜ 3$得$\frac{1}{3} ＜ \frac{1}{b} ＜ \frac{1}{2}$正确，但$a$范围为$-6 ＜ a ＜ 8$，$a/b = a · \frac{1}{b}$，$a$最小值$-6$与$\frac{1}{b}$最大值$\frac{1}{2}$相乘得$-3$，故$a/b$范围应为$-3 ＜ a/b ＜ 4$，乙未考虑$a$最小值与$\frac{1}{b}$最大值相乘导致下限错误。
丙：不对。
错误原因：由$2 ＜ a - b ＜ 4$和$-2 ＜ a + b ＜ 2$可解得$0 ＜ a ＜ 3$，$-3 ＜ b ＜ 0$，但$a + b$的范围已由已知条件$-2 ＜ a + b ＜ 2$限定，丙脱离原条件仅用$a,b$范围推导$a + b$范围，扩大了取值范围，导致结果错误。