《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

| 例3 在$\triangle ABC$中，
(1) 求证：$\cos^{2}\frac{A + B}{2} + \cos^{2}\frac{C}{2} = 1$；
(2) 若$\cos\left(\frac{\pi}{2} + A\right)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + B\right)\tan(C - \pi) ＜ 0$，求证：$\triangle ABC$为钝角三角形. |

答案：
(1)证明见解析；
(2)证明见解析

| 例4 已知函数$f(x) = \frac{\sin^{4}x + \cos^{4}x}{\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$
(1) 判断函数$f(x)$的奇偶性；
(2) 若$f(\alpha) = \frac{5}{2}$，且$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，求$\alpha$的值. |

答案： 例4
(1)偶函数$ (2)\alpha=\frac{\pi}{3}$

| 跟踪训练
是否存在角$\alpha, \beta, \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in (0, \pi)$，使$\begin{cases} \sin(3\pi - \alpha) = \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right), \\ \sqrt{3}\cos(-\alpha) = -\sqrt{2}\cos(\pi + \beta) \end{cases}$同时成立？若存在，求出角$\alpha, \beta$；若不存在，请说明理由. |

答案： 跟踪训练 存在满足条件的角$\alpha,\beta,\alpha=\frac{\pi}{4},\beta=\frac{\pi}{6}。$