《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

例4 已知$\sin(5\pi - \theta)+\sin(\frac{5\pi}{2}-\theta)=\frac{\sqrt{7}}{2}$，求$\sin^3(\frac{\pi}{2}+\theta)-\cos^3(\frac{3\pi}{2}-\theta)$的值.

答案： 例4 $\frac{5\sqrt{7}}{16}$

1. (2025沙坪坝期末)若$\sin\alpha=\frac{5}{13}$，则$\cos(\alpha-\frac{\pi}{2})$的值为 (A)

A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$-\frac{12}{13}$
D.$-\frac{5}{13}$

答案： 1.A

2. 若$\cos(\alpha+\frac{\pi}{6})=\frac{3}{5}$，则$\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)$的值为 (D)

A.$-\frac{4}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： 2.D

3. (多选)(2024成都期中)下列结论中，正确的是 (ABC)

A.$\sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-\cos\alpha$
B.$\cos(\alpha-\pi)=-\cos\alpha$
C.$\tan(-\alpha-\pi)=-\tan\alpha$
D.$\cos(\frac{5\pi}{2}+\alpha)=\sin\alpha$

答案： 3.ABC

4. (2025昆明期末)已知$\sin(52^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{7}$，且$-120^{\circ}＜\alpha＜-90^{\circ}$，则$\sin(38^{\circ}+\alpha)=$$-\frac{4\sqrt{3}}{7}$.

答案： 4.$-\frac{4\sqrt{3}}{7}$

5. 已知$f(\alpha)=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)-3\sin(3\pi-\alpha)}{2\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)+\cos(\pi+\alpha)}$.
(1)化简$f(\alpha)$；
(2)已知$\tan\alpha = 2$，求$f(\alpha)$的值.

答案： 5.
(1)$f(\alpha)=\frac{3\sin\alpha-\cos\alpha}{2\sin\alpha+\cos\alpha}$
(2)1