《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

例5 已知$a$，$b$为正数，比较$\sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}$，$\dfrac{a + b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$的大小.

答案： 例5 $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$，当且仅当$a = b$时，等号成立.

1. (2024 哈尔滨期中)若$x ＞ 0$，则$x+\dfrac{9}{x}$有(A)

A.最小值$6$
B.最小值$8$
C.最大值$8$
D.最大值$3$

答案： 1. A

2. 若$ab ＞ 0$，且$a ＜ b$，则下列不等式中一定成立的是(C)

A.$a^{2} ＜ b^{2}$
B.$\dfrac{1}{a} ＜ \dfrac{1}{b}$
C.$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b} ＞ 2$
D.$\dfrac{a + b}{2} ＞ \sqrt{ab}$

答案： 2. C

3. (多选)(2024 绍兴月考)已知$x$，$y$为正数，且$xy = 1$，则下列说法中正确的是(AC)

A.$x + y$有最小值$2$
B.$x + y$有最大值$2$
C.$x^{2}+y^{2}$有最小值$2$
D.$x^{2}+y^{2}$有最大值$2$

答案： 3. AC

4. 已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$a + b ＞ 2$，有下列四个结论：①$ab ＞ 1$；②$a^{2}+b^{2} ＞ 2$；③$\dfrac{1}{a}$和$\dfrac{1}{b}$中至少有一个小于$1$；④$\dfrac{1 + a}{b}$和$\dfrac{1 + b}{a}$中至少有一个小于$2$，其中，正确结论的序号为②③④.

答案： 4. ②③④

5. 已知$0 ＜ a ＜ 1$，$0 ＜ b ＜ 1$，$a\neq b$，则$a + b$，$2\sqrt{ab}$，$a^{2}+b^{2}$，$2ab$中哪一个最大？

答案： 5. $a + b$最大