《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

思考
若$a,b\in\mathbf{R}$,则$ab,\left(\frac{a+b}{2}\right)^2,\frac{a^2+b^2}{2}$的大小关系如何? 当$a,b＞0$时,$\sqrt{ab},\frac{a+b}{2},\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$的大小关系是怎样的?

答案：
(1) 对于任意实数$a, b$：
首先比较$ab$与$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$：
由平方和公式，有
$(a - b)^{2} \geq 0$，
展开得
$a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0$，
进一步整理，得
$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$，
两边同时加上$2ab$，得
$a^{2} + 2ab + b^{2} \geq 4ab$，
即
$(a + b)^{2} \geq 4ab$，
两边同时除以4，得
$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \geq ab$，
接着，比较$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$与$\frac{a^2+b^2}{2}$：
由$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$，两边同时加上$a^{2} + b^{2}$，得
$2(a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2}$，
即
$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}$。
综上，得到
$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$。
(2) 当$a, b ＞ 0$时：
首先，由基本不等式$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，
其次，由$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2+b^2}{2}$，开方得
$\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$。
综上，得到
$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$。

例1 求$y=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$的最大值.

答案： 例1 $y_{max}=2$

例2 用长为$4a$的铁丝围成一个矩形,怎样才能使所围矩形的面积最大?

答案： 例2 设矩形长为$x(0＜x＜2a)$，则宽为$2a-x$，矩形的面积$S=x(2a-x)$，且$x＞0,2a-x＞0$。
由基本不等式，得$\sqrt{x(2a-x)}\leq \frac{x+(2a-x)}{2}=a$，
当且仅当$x=2a-x$，即$x=a$时，等号成立，
所以当$x=a$时，$S=x(2a-x)$取得最大值$a^2$。