《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

5. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 $ 20000 $ 元，每生产一台仪器需增加投入 $ 100 $ 元，已知总收入满足函数 $ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400, \\ 80000, & x ＞ 400, \end{cases} $ 其中 $ x $ (单位: 台) 是仪器的月产量.
(1) 将利润表示为月产量 $ x $ 的函数 $ f(x) $；
(2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大? 最大利润为多少元? (总收入 $ = $ 总成本 $ + $ 利润)

答案： 5.
(1) $f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400, \\ 60000 - 100x, & x ＞ 400. \end{cases}$
(2) 当月产量的值为300时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.