《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

1. (2025 广州期末)在下列区间中，函数 $f(x)=e^x - 2$ 必有零点的是 (B)

A.$(-1,0)$
B.$(0,1)$
C.$(1,2)$
D.$(2,3)$

答案： 1.B

2. (2024 泸州期末)已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 4x - 1, & x\leq0,\\2^x - 3, & x＞0,\end{cases}$若方程 $f(x)-k=0$ 的实数解有 $3$ 个，则实数 $k$ 的取值范围是 ( )

A.$[-5,+\infty)$
B.$(-2,+\infty)$
C.$(-5,-2]$
D.$(-2,-1]$

答案： 2.D

3. (多选)(2025 昆明期末)已知函数 $f(x)=(x - a)(x - b)-1(a＜b)$ 恰有两个零点 $c,d(c＜d)$，则下列结论中正确的是 (ABD)

A.$f(c)=f(d)=0$
B.方程 $f(x)= - 1$ 的解集为 $\{a,b\}$
C.不等式 $f(x)＜0$ 的解集为 $\{x|a＜x＜b\}$
D.$a,b,c,d$ 的大小关系是 $d＞b＞a＞c$

答案： 3.ABD

4. (2025 上海大同中学月考)函数 $f(x)=\ln(3x^2 - 2x + 1)$ 的零点是0或$\frac{2}{3}$.

答案： 4.0或$\frac{2}{3}$

5. 已知函数 $f(x)=a^x(a＞0$ 且 $a\neq1)$ 的图象经过点 $(2,\frac{1}{4})$.
(1) 求实数 $a$ 的值及 $f(x)$ 在区间 $[-\frac{1}{2},1]$ 上的最大值；
(2) 若 $g(x)=f(x)-x$，求证：$g(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内存在零点.

答案： 5.
(1)$a = \frac{1}{2}$,$f(x)$的最大值是$f(-\frac{1}{2}) = \sqrt{2}$.
(2)略