《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

例5 已知函数$f(x) = \lg \frac{1 + 2^{x} + a · 4^{x}}{3}$在区间$(-\infty, 1]$上有意义，求实数$a$的取值范围。

答案： 例5 实数a的取值范围为$\left(-\frac{3}{4},+\infty\right)$

跟踪训练
已知函数$f(x) = \lg(1 + x) + \lg(1 - x)$。
（1）判断函数$f(x)$的奇偶性；
（2）若$f(x) = \lg g(x)$，判断函数$g(x)$在区间$(0, 1)$上的单调性并用定义证明。

答案：
(1) f(x)为偶函数
(2)函数g(x)在区间(0,1)上单调递减,证明略

例6 已知函数$f(x) = x^{3} - x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}$。证明：存在$x_{0} \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$，使$f(x_{0}) = x_{0}$。

答案： 令$g(x)=f(x)-x$，则$g(x)=x^{3}-x^{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}-x=x^{3}-x^{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}$。
计算$g(0)$：$g(0)=0^{3}-0^{2}-\frac{0}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}＞0$。
计算$g\left(\frac{1}{2}\right)$：$g\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{8}＜0$。
因为$g(x)$是多项式函数，在$\left[0,\frac{1}{2}\right]$上连续，且$g(0)· g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}×\left(-\frac{1}{8}\right)=-\frac{1}{32}＜0$。
由零点存在定理，存在$x_{0}\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$，使$g(x_{0})=0$，即$f(x_{0})=x_{0}$。
结论：存在$x_{0}\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$，使$f(x_{0})=x_{0}$。

跟踪训练
函数$f(x) = 2^{x}|\log_{0.5}x| - 1$的零点个数为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 跟踪训练 B