《2025年活动单导学课程高中数学必修第一册人教版A版》

思考3
你能从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件吗?

答案： 设命题$ p $对应集合$ A $，命题$ q $对应集合$ B $。若$ A \subseteq B $，则$ p $是$ q $的充分条件；若$ B \subseteq A $，则$ p $是$ q $的必要条件；若$ A = B $，则$ p $是$ q $的充要条件。

例3 (1) 已知$p:x^{2} + x - 6 = 0$,$q:mx + 1 = 0(m \neq 0)$，且$q$是$p$的充分条件，求实数$m$的值;

答案： 例$3 (1)m=-\frac{1}{2}$或$m=\frac{1}{3}$

例4 求证：“一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有一正根和一负根”的充要条件是“$ac ＜ 0$”。

答案： 解(证明)：
1. 先证充分性：
已知$ac\lt0$，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
因为$b^{2}\geq0$，$4ac\lt0$，所以$\Delta=b^{2}-4ac\gt0$，方程有两个不同的实根。
设方程的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，根据韦达定理$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
又因为$ac\lt0$，所以$\frac{c}{a}\lt0$，即$x_{1}x_{2}\lt0$，所以方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一正根和一负根。
2. 再证必要性：
若一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有一正根和一负根，设两根为$x_{1}$，$x_{2}$。
则$x_{1}x_{2}\lt0$，由韦达定理$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，所以$\frac{c}{a}\lt0$，即$ac\lt0$。
综上，“一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一正根和一负根”的充要条件是“$ac\lt0$”。

例2 用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空.
(1)“$\mid x \mid = 3$”是“$x^{2} = 9$”的充要条件;
(2)“$x = -1$”是“$x^{2} = 1$”的充分不必要条件.

答案： 例2
(1)充要条件
(2)充分不必要条件

范围
(2) 已知$M = \{x \mid a - 1 ＜ x ＜ a + 1\}$,$N = \{x \mid -3 ＜ x ＜ 8\}$，若$x \in N$是$x \in M$的必要条件，求实数$a$的取值范围.

答案： 解：因为$x\in N$是$x\in M$的必要条件，所以$M\subseteq N$。
已知$M = \{x\mid a - 1\lt x\lt a + 1\}$，$N = \{x\mid - 3\lt x\lt 8\}$，则有$\begin{cases}a - 1\geq - 3\\a + 1\leq 8\end{cases}$。
解不等式$a - 1\geq - 3$，得$a\geq - 3 + 1$，即$a\geq - 2$。
解不等式$a + 1\leq 8$，得$a\leq 8 - 1$，即$a\leq 7$。
综上，实数$a$的取值范围是$\{a\mid - 2\leq a\leq 7\}$。

跟踪训练
若“$x ＜ -2$或$x \geq 8$”是“$x ＜ m$”的必要不充分条件，则实数$m$的取值范围是m≤ -2.

答案： 跟踪训练 m≤ -2