《2025年全品学练考七年级数学上册华师大版》

合并同类项的法则
把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变。

答案： 相加 保持不变

例1（教材典题）合并下列多项式中的同类项：
(1)$2a^{2}b - 3a^{2}b + \frac{1}{2}a^{2}b$； (2)$a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b - ab^{2} + b^{3}$。

答案： 例1
(1)$-\frac {1}{2}a^{2}b$
(2)$a^{3}+b^{3}$

例2 把$a + b$，$a - b$分别当作一个整体，合并下列各式中的同类项：
(1)$3(a + b) - 5(a - b) - 2(a - b) + (a + b) =$4(a + b) - 7(a - b)；
(2)$3(a + b)^{2} + (a + b) - 2(a - b) - (a + b)^{2} - 4(a + b) - 3(a - b) =$____。

答案： 例2
(1)$4(a + b) - 7(a - b)$
(2)$2(a + b)^{2} - 3(a + b) - 5(a - b)$

例3（教材典题）求多项式$3x^{2} + 4x - 2x^{2} - x + x^{2} - 3x - 1$的值，其中$x = - 3$。

答案： 解：
$\begin{aligned}&3x^{2} + 4x - 2x^{2} - x + x^{2} - 3x - 1\\=&(3x^{2}-2x^{2}+x^{2})+(4x - x - 3x)-1\\=&2x^{2}-1\end{aligned}$
当$x = - 3$时，
$2x^{2}-1=2×(-3)^{2}-1=2×9 - 1=18 - 1 = 17$。
所以，该多项式的值为$17$。

例4（教材典题）如图2-4-1所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为$3:2$。如果长方形的长分别为$0.4m$，$0.5m$，$0.6m$等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为$a m$呢？

答案： 当长方形的长为 $ a \, m $ 时：
1. 长方形的宽：长与宽的比为 $ 3:2 $，宽为 $ \frac{2}{3}a \, m $。
2. 下部分长方形组合体：6个长方形排成3行2列（3行，每行2个），则总宽度（水平方向）为 $ 2a \, m $（半圆的直径），总高度（垂直方向）为 $ 3 × \frac{2}{3}a = 2a \, m $。
3. 下部分边框长度：
水平边框：4条（上外围、2条分隔线、下外围），每条长 $ 2a \, m $，总长度 $ 4 × 2a = 8a \, m $。
垂直边框：3条（左外围、1条分隔线、右外围），每条长 $ 2a \, m $，总长度 $ 3 × 2a = 6a \, m $。
4. 上部分半圆弧长：半径 $ r = a \, m $，弧长 $ \frac{1}{2} × 2\pi r = \pi a \, m $。
5. 总材料长度：$ 8a + 6a + \pi a = (14 + \pi)a \, m $。
当长方形的长分别为具体值时：
长 $ 0.4 \, m $：$ (14 + \pi) × 0.4 = 5.6 + 0.4\pi \, m \approx 6.86 \, m $。
长 $ 0.5 \, m $：$ (14 + \pi) × 0.5 = 7 + 0.5\pi \, m \approx 8.57 \, m $。
长 $ 0.6 \, m $：$ (14 + \pi) × 0.6 = 8.4 + 0.6\pi \, m \approx 10.28 \, m $。
结论：
长为 $ a \, m $ 时，材料长度为 $ (14 + \pi)a \, m $。
长为 $ 0.4 \, m $ 时，约为 $ 6.86 \, m $；长为 $ 0.5 \, m $ 时，约为 $ 8.57 \, m $；长为 $ 0.6 \, m $ 时，约为 $ 10.28 \, m $。