《2025年全品学练考七年级数学上册华师大版》

为了便于多项式的运算，可以运用加法交换律将多项式各项的位置按照其中某一字母的指数的大小顺序重新排列.
(1)升幂排列：把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列.
(2)降幂排列：把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.

答案： 加法交换
(1)从小到大
(2)从大到小

例 1(教材典题)把多项式 $ 2r - 1 + \frac{4}{3}r^{3} - r^{2} $ 按 $ r $ 的升幂排列.

答案： 1. 首先明确升幂排列的定义：
升幂排列是把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来。
2. 然后分析多项式$2r - 1+\frac{4}{3}r^{3}-r^{2}$中各项$r$的次数：
对于常数项$-1$，$r$的次数可以看作$0$；
对于项$2r$，$r$的次数是$1$；
对于项$-r^{2}$，$r$的次数是$2$；
对于项$\frac{4}{3}r^{3}$，$r$的次数是$3$。
3. 最后按$r$的升幂排列：
按$r$的升幂排列为$-1 + 2r-r^{2}+\frac{4}{3}r^{3}$。
对于例$2$：
1. （1）按$a$的升幂排列：
先分析多项式$a^{3}+b^{2}-3a^{2}b - 3ab^{3}$中各项$a$的次数：
对于项$b^{2}$，$a$的次数看作$0$；
对于项$-3ab^{3}$，$a$的次数是$1$；
对于项$-3a^{2}b$，$a$的次数是$2$；
对于项$a^{3}$，$a$的次数是$3$。
按$a$的升幂排列为$b^{2}-3ab^{3}-3a^{2}b + a^{3}$。
2. （2）按$a$的降幂排列：
按$a$的次数从高到低排列，$a$的次数依次为$3$，$2$，$1$，$0$。
按$a$的降幂排列为$a^{3}-3a^{2}b-3ab^{3}+b^{2}$。
对于变式：
1. 先分析多项式$3(x - y)^{3}-7(x - y)^{4}+8(x - y)-2(x - y)^{2}-1$中$(x - y)$的次数：
对于项$-7(x - y)^{4}$，$(x - y)$的次数是$4$；
对于项$3(x - y)^{3}$，$(x - y)$的次数是$3$；
对于项$-2(x - y)^{2}$，$(x - y)$的次数是$2$；
对于项$8(x - y)$，$(x - y)$的次数是$1$；
对于项$-1$，$(x - y)$的次数看作$0$。
2. 然后按$(x - y)$的降幂排列：
按$(x - y)$的降幂排列为$-7(x - y)^{4}+3(x - y)^{3}-2(x - y)^{2}+8(x - y)-1$。
故答案依次为：$-1 + 2r-r^{2}+\frac{4}{3}r^{3}$；（1）$b^{2}-3ab^{3}-3a^{2}b + a^{3}$；（2）$a^{3}-3a^{2}b-3ab^{3}+b^{2}$；$-7(x - y)^{4}+3(x - y)^{3}-2(x - y)^{2}+8(x - y)-1$。

例 2(教材典题)把多项式 $ a^{3} + b^{2} - 3a^{2}b - 3ab^{3} $ 重新排列：
(1)按 $ a $ 的升幂排列；
(2)按 $ a $ 的降幂排列.

答案： 1. 首先明确$a$的次数：
对于多项式$a^{3}+b^{2}-3a^{2}b - 3ab^{3}$，各项中$a$的次数分别为：
项$a^{3}$中$a$的次数是$3$；
项$b^{2}$中$a$的次数是$0$（因为不含$a$）；
项$-3a^{2}b$中$a$的次数是$2$；
项$-3ab^{3}$中$a$的次数是$1$。
2. 然后按$a$的升幂排列：
按$a$的升幂排列，就是按照$a$的次数从小到大排列。
所以$b^{2}-3ab^{3}-3a^{2}b + a^{3}$。
3. 最后按$a$的降幂排列：
按$a$的降幂排列，就是按照$a$的次数从大到小排列。
所以$a^{3}-3a^{2}b-3ab^{3}+b^{2}$。
综上，
(1)按$a$的升幂排列为$b^{2}-3ab^{3}-3a^{2}b + a^{3}$；
(2)按$a$的降幂排列为$a^{3}-3a^{2}b-3ab^{3}+b^{2}$。

变式 把 $ x - y $ 看成一个整体，将多项式 $ 3(x - y)^{3} - 7(x - y)^{4} + 8(x - y) - 2(x - y)^{2} - 1 $ 按 $ x - y $ 的降幂排列为-7(x - y)⁴ + 3(x - y)³ - 2(x - y)² + 8(x - y) - 1.

答案： 变式 -7(x - y)⁴ + 3(x - y)³ - 2(x - y)² + 8(x - y) - 1 

1. 将多项式 $ a^{3} + 1 - a^{2} - a $ 按 $ a $ 的升幂排列是(B)

A.$ 1 + a - a^{2} + a^{3} $
B.$ 1 - a - a^{2} + a^{3} $
C.$ a^{3} - a^{2} - a + 1 $
D.$ a^{3} + a^{2} - a - 1 $

答案： 1. B

2. 将多项式 $ 5x^{3} - y^{3} + xy - 3x^{2}y^{2} $ 按 $ y $ 的降幂排列为-y³ - 3x²y² + xy + 5x³.

答案： 2. -y³ - 3x²y² + xy + 5x³

3. 把多项式 $ 7xy^{2} - 2x^{2}y + cy^{3} - ax^{3} $ 重新排列.
（1）按 $ x $ 的升幂排列；
（2）按 $ y $ 的降幂排列.

答案： 3. 解：
(1)按 x 的升幂排列为 cy³ + 7xy² - 2x²y - ax³。
(2)按 y 的降幂排列为 cy³ + 7xy² - 2x²y - ax³。