《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

1. 我们已经学过哪几种解一元二次方程的方法？

答案： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。

2. 在用配方法解方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 时,要先把原方程化成 $(x + h)^{2}= k$ 的形式。请你试一试,并思考转化过程中需要注意些什么。

答案： 转化过程：
1. 方程两边同除以$a(a\neq0)$：$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：两边同加$(\frac{b}{2a})^{2}$，得$x^{2}+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^{2}=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^{2}$；
4. 化为完全平方式：$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。
注意事项：
1. 化二次项系数为1时，需确保两边同除以$a(a\neq0)$；
2. 移项时常数项需变号；
3. 配方时等式两边必须同时加上一次项系数一半的平方；
4. 右边合并同类项时注意通分及符号运算，结果为$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$。

用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}+3x + 2 = 0$； (2) $x^{2}+2x - 2 = 0$；
(3) $-2x^{2}+x + 1 = 0$； (4) $2x^{2}-7x = 4$。

答案： 答题卡：
(1)
$a = 1,b = 3,c = 2$，
$\Delta = 3^{2} - 4 × 1 × 2 = 1$，
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 × 1}$，
$x_{1} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$，
$x_{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$；
(2)
$a = 1,b = 2,c = -2$，
$\Delta = 2^{2} - 4 × 1 × (-2) = 12$，
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2 × 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$，
$x_{1} = -1 + \sqrt{3}$，
$x_{2} = -1 - \sqrt{3}$；
(3)方程两边同时乘以$-1$得：
$2x^{2} - x - 1 = 0$，
$a = 2,b = -1,c = -1$，
$\Delta = (-1)^{2} - 4 × 2 × (-1) = 9$，
$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 × 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$，
$x_{1} = \frac{1 + 3}{4} = 1$，
$x_{2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$；
(4)移项得：
$2x^{2} - 7x - 4 = 0$，
$a = 2,b = -7,c = -4$，
$\Delta = (-7)^{2} - 4 × 2 × (-4) = 81$，
$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 × 2} = \frac{7 \pm 9}{4}$，
$x_{1} = \frac{7 + 9}{4} = 4$，
$x_{2} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}$。

1. 填空题：
(1) 一元二次方程 $x^{2}-2\sqrt{2}x= -1$ 化成一般形式为$x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$,其中 $a=$1,$b=$$-2\sqrt{2}$,$c=$1,$b^{2}-4ac=$4；
(2) 若 $x = 1$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx-3m^{2}= 0$ 的一个根,则 $m$ 的值为$\frac{1+\sqrt{13}}{6}$或$\frac{1-\sqrt{13}}{6}$。

答案：
(1)$x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$，1，$-2\sqrt{2}$，1，4；
(2)$\frac{1+\sqrt{13}}{6}$或$\frac{1-\sqrt{13}}{6}$