《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

谈谈“用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系”与“用一元一次方程、二元一次方程组刻画实际问题中的数量关系”的异同。

答案： 相同点：均通过设未知数，依据实际问题中的等量关系建立方程（组）模型，刻画数量间的相等关系。
不同点：
1. 未知数与次数：一元一次方程含1个未知数，次数为1；二元一次方程组含2个未知数，每个方程未知数次数为1；一元二次方程含1个未知数，次数为2。
2. 数量关系类型：一元一次方程刻画线性（一次）数量关系；二元一次方程组刻画两个变量间的一次数量关系；一元二次方程刻画含平方或乘积的二次数量关系（如面积、增长率、单价与销量乘积等问题）。

1. 填空题：
(1)把$5x^{2}-1 = 4x$化成一元二次方程的一般形式,得$5x^{2}-4x - 1 = 0$。其中二次项系数是5,一次项系数是$-4$,常数项是$-1$。
(2)某型号手机经过4月、5月连续两次降价后,每部手机售价由3200元降到了2500元。设平均每月降价的百分率为$x$,4月降价后该型号手机价格可表示为$3200(1 - x)$元,5月降价后该型号手机价格可表示为$3200(1 - x)^{2}$元。根据题意,可得方程$3200(1 - x)^{2}=2500$。

答案：
(1)$5x^{2}-4x - 1 = 0$；$5$；$-4$；$-1$
(2)$3200(1 - x)$；$3200(1 - x)^{2}$；$3200(1 - x)^{2}=2500$

2. 选择题：
(1)把方程$x^{2}-\sqrt{3}= (\sqrt{3}-\sqrt{2})x$化成一般形式,它的各项系数之和是(D)
A. $\sqrt{2}$ B. $-\sqrt{2}$ C. $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ D. $1+\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
(2)已知$x = -1是方程ax^{2}+bx+c = 0$的解,则有(C)
A. $a + b + c = 1$ B. $a - b + c = 1$ C. $a - b + c = 0$ D. $-a - b + c = 0$
(3)有下列关于$x$的方程：$3(x^{2}+1)= 2y$,$3x(5x - 1)= 1$,$x^{2}= 1$,$2x+\frac{1}{x}= 3$,其中是一元二次方程的有(B)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

答案：
(1)D
(2)C
(3)B

3. 两个连续偶数的积是48,求这两个数。(只需列出方程)

答案： 设较小的偶数为$x$，则较大的偶数为$x + 2$，根据题意可列方程：$x(x + 2) = 48$

1. 已知$x = m是方程x^{2}-2x - 3 = 0$的解,则代数式$2m^{2}-4m - 3$的值为3。

答案： 3

2. 已知关于$x的方程(m - 2)x^{m^{2}-2}+(m - 3)x - 1 = 0$。
(1)当$m$取何值时,它是一元二次方程？
(2)当$m$取何值时,它是一元一次方程？

答案：
(1) 由一元二次方程定义，得：
$\begin{cases}m^2 - 2 = 2 \\ m - 2 \neq 0\end{cases}$
解得$m^2 = 4$，$m = \pm 2$，且$m \neq 2$，故$m = -2$。
(2) 分情况讨论：
① 当$m - 2 = 0$，即$m = 2$时，方程为$-x - 1 = 0$，是一元一次方程；
② 当$m^2 - 2 = 1$且$m - 2 \neq 0$，即$m^2 = 3$，$m = \pm \sqrt{3}$，此时方程为$(2m - 5)x - 1 = 0$，$2m - 5 \neq 0$，是一元一次方程；
③ 当$m^2 - 2 = 0$且$m - 2 \neq 0$，即$m = \pm \sqrt{2}$，此时方程为$(m - 3)x + (m - 3) = 0$，$m - 3 \neq 0$，是一元一次方程。
综上，$m = 2$或$m = \pm \sqrt{2}$或$m = \pm \sqrt{3}$。
(1) $m = -2$；
(2) $m = 2$或$\pm \sqrt{2}$或$\pm \sqrt{3}$。