《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

(1) 设 $x_{1}$、$x_{2}$ 是方程 $x(x - 1)= 2$ 的两个根,则 $x_{1}+x_{2}=$1,$x_{1}\cdot x_{2}=$-2；
(2) 若方程 $x^{2}-mx + n = 0$ 的两个根分别是 $2+\sqrt{3}$ 和 $2-\sqrt{3}$,则 $m=$4,$n=$1.

答案：
(1) $1$，$-2$；
(2) $4$，$1$

3. 求下列方程两根的和与两根的积：\n(1) $x^{2}-2x + 1 = 0$；\n(2) $2x^{2}+3x = 0$；\n(3) $3x^{2}-2x = 2$；\n(4) $6x^{2}-1 = 0$.

答案：
(1)
对于方程 $x^{2} - 2x + 1 = 0$，
其中 $a = 1, b = -2, c = 1$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 2$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = 1$。
(2)
对于方程 $2x^{2} + 3x = 0$，
其中 $a = 2, b = 3, c = 0$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = 0$。
(3)
首先，将方程 $3x^{2} - 2x = 2$ 化为标准形式：
$3x^{2} - 2x - 2 = 0$，
其中 $a = 3, b = -2, c = -2$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{2}{3}$。
(4)
对于方程 $6x^{2} - 1 = 0$，
其中 $a = 6, b = 0, c = -1$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a} = 0$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = -\frac{1}{6}$。

4. 已知关于 $x$ 的方程 $3x^{2}-19x + m = 0$ 的一个根是 1,求另一个根及 $m$ 的值.

答案： 答：
将$x = 1$代入方程$3x^{2} - 19x + m = 0$，得 ：
$3×(1)^2 - 19×(1) + m = 0$，
$3 - 19 + m = 0$，
$m = 16$，
设方程的另一个根为$x_1$，
由根与系数的关系，得：
$1 + x_1 = \frac{19}{3}$，
$x_1 = \frac{19}{3} - 1$，
$x_1 = \frac{16}{3}$，
所以，另一个根为$\frac{16}{3}$，$m$的值为$16$。

1. 若 $x_{1}$、$x_{2}$ 是一元二次方程 $2x^{2}-3x + 1 = 0$ 的两个根,则 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值为3.

答案： 答题卡：
根据韦达定理，对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程 $2x^{2} - 3x + 1 = 0$，其中 $a = 2, b = -3, c = 1$，所以：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$，
$x_{1}x_{2} = \frac{1}{2}$，
接下来，我们要求 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$，根据分数的加法运算法则，可以将其转化为：
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}}$，
将 $x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2}$ 和 $x_{1}x_{2} = \frac{1}{2}$ 代入上式，得：
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$。
故答案为3。

2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x+(2m + 1)= 0$ 有实数根.\n(1) 求 $m$ 的取值范围；\n(2) 如果方程的两个实数根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$,且 $2x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}\geqslant20$,求 $m$ 的取值范围.

答案：
(1)$m≤4$；
(2)$3≤m≤4$。