《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,以$BC的中点O为圆心作\odot O$,使$\odot O与AB$相切,切点为$D$. 求证：$AC是\odot O$的切线.

答案： 证明：
1. 过点$ O $作$ OE \perp AC $，垂足为$ E $，连接$ OA $，$ OD $。
2. 因为$ AB $是$ \odot O $的切线，$ D $为切点，所以$ OD \perp AB $（切线的性质），即$ \angle ODA = 90^\circ $。
3. 因为$ AB = AC $，$ O $是$ BC $中点，所以$ AO $平分$ \angle BAC $（等腰三角形三线合一），即$ \angle OAD = \angle OAE $。
4. 在$ \triangle AOD $和$ \triangle AOE $中：
$ \begin{cases} \angle OAD = \angle OAE, \\ \angle ADO = \angle AEO = 90^\circ, \\ AO = AO, \end{cases} $
所以$ \triangle AOD \cong \triangle AOE \, (AAS) $。
5. 因此$ OD = OE $（全等三角形对应边相等）。
6. 因为$ OD $是$ \odot O $的半径，所以$ OE = OD $也是$ \odot O $的半径。
7. 又因为$ OE \perp AC $，所以$ AC $是$ \odot O $的切线（切线的判定定理）。
结论： $ AC $是$ \odot O $的切线。

4. 如图,$AB是\odot O$的直径,$BC与\odot O相切于点B$,弦$AD// OC$. 求证：$DC是\odot O$的切线.

答案： 连接$OD$。
由于$AD// OC$，
根据平行线的性质，得到：
$\angle A = \angle BOC$（两直线平行，同位角相等）
$\angle ADO = \angle DOC$（两直线平行，内错角相等）。
由于$OA = OD$（半径相等），
根据等腰三角形的性质，得到：
$\angle A = \angle ADO$。
由上述两个结论，可以得到：
$\angle BOC = \angle DOC$。
在$\triangle BOC$和$\triangle DOC$中，
由于$OB = OD$（半径相等），
$\angle BOC = \angle DOC$，且$OC = OC$（公共边），
根据$SAS$三角形全等的判定，得到：
$\triangle BOC \cong \triangle DOC$。
由于全等三角形的对应角相等，
所以$\angle OBC = \angle ODC$。
又因为$BC$是$\odot O$的切线，
根据切线的性质，得到：
$\angle OBC = 90^\circ$。
因此，$\angle ODC = 90^\circ$，
即$OD \perp DC$。
由于$OD$是$\odot O$的半径，
根据切线的判定定理，得到：
$DC$是$\odot O$的切线。

1. 如图,直线$BC切\odot O于点C$,$DE是\odot O$的直径,$\angle A= \angle B = 26^{\circ}$,则$\angle DEC= $38°.

答案： 38°

2. 如图,正方形$ABCD$的边长为 8,$M是边AB$的中点,$P是边BC$上的动点,连接$PM$,以点$P$为圆心,$PM长为半径作\odot P$. 当$\odot P与正方形ABCD$的边相切时,$BP$的长为3或4√3.

答案： 3或4√3

3. 如图,$AB是\odot O$的直径,$ED与\odot O相切于点C$,$AD与\odot O相交于点A$、$F$,$AC平分\angle BAD$,连接$BF$.
(1) 求证：$AD\perp ED$；
(2) 若$CD = 4$,$AF = 2$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1) 证明见上；
(2) √17