《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

1. 用配方法解方程 $x^{2}-\frac{5}{2}x + 1 = 0$。

答案： 答题卡：
解：方程$x^{2} - \frac{5}{2}x + 1 = 0$移项得$x^{2} - \frac{5}{2}x=-1$，
配方得$x^{2} - \frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$，
即$(x - \frac{5}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，
开平方得$x - \frac{5}{4}=\pm\frac{3}{4}$，
当$x - \frac{5}{4}=\frac{3}{4}$时，$x_1 = 2$；
当$x - \frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$时，$x_2=\frac{1}{2}$。
所以，方程的解为$x_1 = 2$，$x_2=\frac{1}{2}$。

2. 先观察比较方程 $2x^{2}-5x + 2 = 0$ 与 $x^{2}-\frac{5}{2}x + 1 = 0$,再尝试用配方法解方程 $2x^{2}-5x + 2 = 0$。

答案： $x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。

3. 由解决上述问题 $1$、$2$ 的经验,你能说明当一元二次方程的二次项系数不是 $1$ 时,怎样用配方法求解吗？

答案： 当一元二次方程的二次项系数不为$1$时，设方程为$ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$，用配方法求解的步骤如下：
1.二次项系数化为$1$：
方程两边同时除以$a$，得$x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$。
2.移项：
将常数项移到等号右边，得$x^{2} + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}$。
3.配方：
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^{2} + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$，即$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}$。
4.开平方：
当$b^{2} - 4ac \geq 0$时，$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}} = \pm\frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$。
5.求解：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$。
综上，当一元二次方程的二次项系数不是$1$时，用配方法求解的步骤为二次项系数化为$1$、移项、配方、开平方、求解。

用配方法解下列方程：
(1) $2x^{2}+8x + 1 = 0$；
(2) $-3x^{2}+4x + 1 = 0$。

答案：
(1) 方程 $2x^{2}+8x + 1 = 0$ 的解：
$x^{2}+4x=-\frac{1}{2}$，
$x^{2}+4x + 4 =-\frac{1}{2}+4$，
$(x + 2)^{2}=\frac{7}{2}$，
$x + 2=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}=\pm\frac{\sqrt{14}}{2}$，
$x=-2\pm\frac{\sqrt{14}}{2}$，
即 $x_{1}=-2+\frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=-2 - \frac{\sqrt{14}}{2}$。
(2) 方程 $-3x^{2}+4x + 1 = 0$ 的解：
$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$，
$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$，
$(x - \frac{2}{3})^{2}=\frac{7}{9}$，
$x - \frac{2}{3}=\pm\sqrt{\frac{7}{9}}=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$，
$x=\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{7}}{3}$，
即 $x_{1}=\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$，$x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$。

1. 选择题：
(1) 用配方法解一元二次方程 $2x^{2}-x - 1 = 0$,配方后的方程可以是(A)
A. $\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}= \frac{9}{16}$
B. $\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}= \frac{5}{4}$
C. $\left(2x-\frac{1}{2}\right)^{2}= \frac{1}{4}$
D. $(2x - 1)^{2}= 1$
(2) 已知 $-x^{2}-x+\frac{1}{2}= -(x + m)^{2}+n$,则 $m$、$n$ 的值为(C)
A. $m = 1$,$n= \frac{1}{2}$
B. $m = -1$,$n= -\frac{1}{2}$
C. $m= \frac{1}{2}$,$n= \frac{3}{4}$
D. $m= -\frac{1}{2}$,$n= -\frac{1}{4}$

答案：
(1) A
(2) C