《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

1. 如图 2 - 8,BC 是⊙O 的直径,A 是⊙O 上任意一点,求出∠BAC 的度数。

答案： 答题
∵ BC 是⊙O 的直径，
∴ ∠BAC = 90°（直径所对的圆周角是直角）。

2. 如图 2 - 9,点 A 在⊙O 上,∠BAC = 90°,弦 BC 经过圆心吗？为什么？

答案： BC 经过圆心 O。
理由如下：
连接 OA。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，
所以$\angle BAO+\angle OAC = 90^{\circ}$。
因为 OA = OB = OC（同圆的半径相等），
所以$\angle B=\angle BAO$，$\angle C=\angle OAC$。
所以$\angle B+\angle C+\angle BAC=\angle BAO+\angle OAC + 90^{\circ}=180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$）。
即$\angle B+\angle C = 90^{\circ}$，把$\angle B=\angle BAO$，$\angle C=\angle OAC$代入可得$\angle BAO+\angle OAC+90^{\circ}=180^{\circ}$中的$\angle BAO+\angle OAC = 90^{\circ}$，那么$\angle AOB+\angle AOC = 180^{\circ}$（$\angle AOB = 2\angle B$的邻补角相关推导，根据圆周角相关性质，这里可通过三角形内角关系及等腰三角形性质得出$\angle AOB = 2\angle C$，$\angle AOC = 2\angle B$，所以$\angle AOB+\angle AOC=2(\angle B + \angle C)=180^{\circ}$）。
所以$\angle BOC = 180^{\circ}$，即 B、O、C 三点共线。
所以弦 BC 经过圆心。

3. 归纳发现：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。。

答案： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

1. 在活动一的问题 1 中添加条件“∠B = 20°”,求∠C 以及$\overset{\frown}{AC}$的度数。

答案： 答案略

2. 如图 2 - 10,在⊙O 中,直径 AB 的长为 10 cm,弦 AC 的长为 6 cm,∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D,求 BC、AD 和 BD 的长。

答案： 答题卡：
1.求$BC$的长：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 10\mathrm{cm}$，$AC = 6\mathrm{cm}$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8\mathrm{cm}$。
2.求$AD$和$BD$的长：
因为$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACD=\angle BCD$，则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），所以$AD = BD$（在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等）。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 10\mathrm{cm}$，设$AD = BD = x\mathrm{cm}$，根据勾股定理$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$2x^{2}=10^{2}$，$x^{2}=50$，解得$x = 5\sqrt{2}\mathrm{cm}$，所以$AD = BD = 5\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
综上，$BC$的长为$8\mathrm{cm}$，$AD$和$BD$的长均为$5\sqrt{2}\mathrm{cm}$。

1. 将直角三角尺摆放在下列圆弧上,其中,圆弧恰好为半圆的是(B)

答案： B