《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

16. (10 分)如图,等边三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$,$P$ 是劣弧 $BC$ 上的一点(端点除外),延长 $BP$ 至点 $D$,使 $BD = AP$,连接 $CD$.
(1) 若 $AP$ 过圆心 $O$(图①),请判断 $\triangle PDC$ 是什么三角形;
(2) 若 $AP$ 不过圆心 $O$(图②),请判断 $\triangle PDC$ 是什么三角形,并说明理由.

答案：
(1) △PDC是等边三角形。
理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=60°。
∵AP过圆心O，
∴AP平分∠BAC，∠BAP=30°。
∵点P在劣弧BC上，
∴∠BCP=∠BAP=30°（同弧BP所对圆周角相等）。
∵BD=AP，AB=BC，∠BAP=∠CBD=30°（可证弧BP=弧PC=60°，得∠CBD=30°），
∴△ABP≌△CBD（SAS），
∴BP=CD，∠ABP=∠BCD=30°。
∴∠PCD=∠BCD+∠BCP=30°+30°=60°，又CD=PC（等弧对等弦），
∴△PDC是等边三角形。
(2) △PDC是等边三角形。
理由：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=60°。
∵点P在劣弧BC上，
∴∠BAP=∠BCP（同弧BP所对圆周角相等），∠PAC=∠PBC（同弧PC所对圆周角相等）。
∵BD=AP，AB=BC，∠PAC=∠DBC，
∴△APC≌△BDC（SAS），
∴PC=DC。
∵∠ACB=60°，∠ACP=∠BCD（全等三角形对应角相等），
∴∠PCD=∠ACB=60°（∠PCD=∠BCD+∠BCP=∠ACP+∠BCP=∠ACB）。
∵PC=DC，∠PCD=60°，
∴△PDC是等边三角形。

17. (12 分)如图,$PA、PB$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $A、B$,点 $M$ 在 $PB$ 上,且 $OM // AP$,$MN \perp AP$,垂足为 $N$.
(1) 求证:$OM = AN$;
(2) 已知 $\odot O$ 的半径 $R = 3$,$PA = 9$,求 $OM$ 的长.

答案：
(1) 见证明过程；
(2) 5。