《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

4. 如图,$ \triangle ABC $ 是正三角形,曲线 $ CDEF $ 叫做正三角形的渐开线,其中 $ \overset{\frown}{CD} $、$ \overset{\frown}{DE} $、$ \overset{\frown}{EF} $ 的圆心依次是点 $ A $、$ B $、$ C $,如果 $ AB = 1 $,求曲线 $ CDEF $ 的长。

答案： 解：
1. 弧$\overset{\frown}{CD}$的计算
圆心为点$A$，半径$r_1 = AC = AB = 1$（$\triangle ABC$为正三角形）。
圆心角$\angle CAD = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_1 = \frac{120\pi × 1}{180} = \frac{2\pi}{3}$。
2. 弧$\overset{\frown}{DE}$的计算
圆心为点$B$，半径$r_2 = BD = BA + AD = 1 + 1 = 2$（$AD = AC = 1$）。
圆心角$\angle DBE = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_2 = \frac{120\pi × 2}{180} = \frac{4\pi}{3}$。
3. 弧$\overset{\frown}{EF}$的计算
圆心为点$C$，半径$r_3 = CE = CB + BE = 1 + 2 = 3$（$BE = BD = 2$）。
圆心角$\angle ECF = 120^\circ$（正三角形外角）。
弧长$l_3 = \frac{120\pi × 3}{180} = 2\pi$。
4. 曲线$CDEF$的总长
$l = l_1 + l_2 + l_3 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi = 4\pi$。
结论： 曲线$CDEF$的长为$4\pi$。

1. 如图,将边长为 $ 1\,cm $ 的等边三角形 $ ABC $ 沿直线 $ l $ 向右翻动(不滑动),点 $ B $ 从开始到再次落在直线 $ l $ 上,所经过路径的长度为(C)

A.$ \frac{3}{2}\pi\,cm $
B.$ \left(2 + \frac{2}{3}\pi\right)cm $
C.$ \frac{4}{3}\pi\,cm $
D.$ 3\,cm $

答案： C

2. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ AC = BC $,以点 $ A $ 为圆心画 $ \overset{\frown}{DF} $,交 $ AB $ 于点 $ D $,交 $ AC $ 延长线于点 $ F $,交 $ BC $ 于点 $ E $,若图中两个阴影部分的面积相等,则 $ AC : AF = $$\sqrt{π}:2$。

答案： $\sqrt{π}:2$

3. 如图,两个边长为 $ 4 $ 的正五边形(不重叠)有公共顶点 $ O $,以点 $ O $ 为圆心,$ 4 $ 为半径作弧,构成一个“蘑菇”形图案(阴影部分),则这个“蘑菇”形图案的面积为(C)

A.$ \frac{24}{5}\pi $
B.$ \frac{28}{5}\pi $
C.$ \frac{32}{5}\pi $
D.$ \frac{36}{5}\pi $

答案： C

4. 如图,在平面直角坐标系中,$ \odot P $ 与 $ x $ 轴相切于点 $ O $,点 $ P $ 的坐标为 $ (0, 1) $,点 $ A $ 在 $ \odot P $ 上,且在第一象限,$ \angle APO = 120^\circ $。$ \odot P $ 沿 $ x $ 轴正方向滚动,当点 $ A $ 第一次落在 $ x $ 轴上时,求点 $ A $ 的坐标。(结果保留 $ \pi $)

答案： $\boxed{(\dfrac{2\pi}{3},0)}$