《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

1. 正 $ n $ 边形内角和的度数是$(n - 2) × 180^\circ$,正 $ n $ 边形每一个外角的度数是$\frac{360^\circ}{n}$,正 $ n $ 边形每一个内角的度数是$\frac{(n - 2) × 180^\circ}{n}$.

答案： 内角和的度数是$(n - 2) × 180^\circ$（或 $180^\circ(n-2)$ 等价形式）；
每一个外角的度数是$\frac{360^\circ}{n}$；
每一个内角的度数是$\frac{(n - 2) × 180^\circ}{n}$（或 $180^\circ - \frac{360^\circ}{n}$ 等价形式）。

2. 两个正八边形的边长分别是3和4,这两个正八边形的周长之比是3:4.

答案： $3:4$（若用选项形式一般可表示为选项中$3:4$对应的选项，假设本题为填空形式，直接填比例）

3. 一个外角等于它的一个内角的正多边形是正方形.

答案： 正方

4. 边长为 $ 6 \, cm $ 的正三角形的半径是$2\sqrt{3}$$ cm $,面积是$9\sqrt{3}$$ cm^2 $.

答案： 半径答案处填$2\sqrt{3}$，面积答案处填$9\sqrt{3}$（按照题目填空顺序，对应两个空依次在答案框填 $2\sqrt{3}$，$9\sqrt{3}$ ）

5. 如图,边长相等的正方形 $ ABFG $ 和正五边形 $ BCDEF $ 拼接在一起,$ \angle GFE = $162$ ^\circ $.

答案： 162

6. 如图,已知正三角形 $ ABC $ 内接于 $ \odot O $,$ AD $ 是 $ \odot O $ 的内接正十二边形的一条边,连接 $ CD $,若 $ CD = 6\sqrt{2} \, cm $,求 $ \odot O $ 的半径.

答案： 连接OA、OC、OD，设⊙O半径为R。
∵△ABC为正三角形，
∴∠AOC=360°/3=120°。
∵AD为正十二边形一边，
∴∠AOD=360°/12=30°。
由图可知D在劣弧AC上，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=120°-30°=90°。
在△COD中，CD为弦，∠COD=90°，根据弦长公式：CD=2Rsin(∠COD/2)。
即6√2=2Rsin45°，sin45°=√2/2，代入得6√2=2R·(√2/2)=R√2。
解得R=6。
答：⊙O的半径为6cm。

1. 有一边长为4的正 $ n $ 边形,它的一个内角是 $ 120^\circ $,其外接圆的半径为4.

答案： 4

2. 同圆的内接正三角形、正方形、正五边形、正六边形中,周长最大的是正六边形.

答案： 设圆的半径为$R$。
对于内接正三角形：
边长计算：$a_{3} = \sqrt{3}R × 2 × \frac{1}{2} × \frac{1}{\sqrt{3}}× 2 = \sqrt{3}R$（利用正三角形外接圆半径与边长的关系，即$R=\frac{a}{ \sqrt{3}}$，得到$a_{3} = \sqrt{3}R$），
周长：$C_{3} = 3a_{3} = 3\sqrt{3}R$。
对于内接正方形：
边长计算：$a_{4} = \sqrt{2}R × \sqrt{2} = \sqrt{2}R × \frac{2}{ \sqrt{2}} = 2R × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}R$（利用正方形对角线等于圆的直径，即$2R$，然后由勾股定理或正方形性质得边长$a_{4} = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}R$），
周长：$C_{4} = 4a_{4} = 4\sqrt{2}R$。
对于内接正五边形：
边长与半径的关系较复杂，但可以通过几何或三角函数方法求出边长小于$\sqrt{2 + 2\cos(\frac{2\pi}{5})}R \approx 1.7R$（实际计算可能涉及较复杂的三角函数值），
周长：$C_{5} = 5a_{5} \approx 5 × 1.7R = 8.5R$（但实际值小于此，因为$a_{5} ＜ 1.7R$），
精确计算得$a_{5}=2R\sin(\frac{\pi}{5})$，$C_{5} = 10R\sin(\frac{\pi}{5})$。
对于内接正六边形：
边长计算：$a_{6} = R$（正六边形的一条边与半径相等），
周长：$C_{6} = 6a_{6} = 6R$。
比较周长：
$C_{3} = 3\sqrt{3}R \approx 5.196R$，
$C_{4} = 4\sqrt{2}R \approx 5.656R$，
$C_{5} = 10R\sin(\frac{\pi}{5}) \approx 5.877R \lt 6R$ （实际比较时，我们取近似值但知道其小于正六边形的周长），
$C_{6} = 6R$。
由此可见，正三角形的周长最小，正六边形的周长最大。
故答案为：正五边形（的周长不是最大，此步为引导思考，实际直接比较得）……正六边形的周长最大，即正六边形。

3. 正六边形 $ ABCDEF $ 的边长是 $ 10 \, cm $,面积为 $ S_1 $,正六边形 $ A'B'C'D'E'F' $ 的边长是 $ 5 \, cm $,面积为 $ S_2 $,则 $ S_1 : S_2 = $4:1.

答案： 4:1

4. 某正多边形的每个内角比其外角大 $ 100^\circ $,求这个正多边形的边数.

答案： 设这个正多边形的每个外角为$ x^\circ $，则每个内角为$ (x + 100)^\circ $。
因为多边形的一个内角与它相邻的外角互补，所以：
$ x + (x + 100) = 180 $
解得：$ 2x = 80 $，$ x = 40 $。
由于正多边形的外角和为$ 360^\circ $，设边数为$ n $，则：
$ n = \frac{360}{x} = \frac{360}{40} = 9 $。
答：这个正多边形的边数为$ 9 $。

5. 如图,正三角形 $ ABC $ 的外接圆的圆心为点 $ O $,半径为 $ R $,求 $ \triangle ABC $ 的边长 $ a $、周长 $ P $、面积 $ S $ 以及圆心 $ O $ 到边 $ BC $ 的距离 $ r $.

答案： a=√3 R；P=3√3 R；S=3√3 R²/4；r=R/2。