《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

如图$2 - 30$,已知$\odot O的直径为10$,点$A$、$B$、$C在\odot O$上,$\angle CAB的平分线交\odot O于点D$.
(1) 如图①,若$\angle BDC = 90^{\circ}$,$AB = 6$,求$AC$、$BD$、$CD$的长;
(2) 如图②,若$\angle CAB = 60^{\circ}$,求$BD$的长.

答案：
(1)
1. 求$AC$的长：
因为$\angle BDC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC=90^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等，$\angle BDC$与$\angle BAC$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$）。
已知$AB = 6$，$\odot O$的直径为$10$，则$BC$为直径$=10$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。
2. 求$BD$、$CD$的长：
因为$AD$平分$\angle CAB$，所以$\angle CAD=\angle BAD$，则$CD = BD$。
在$Rt\triangle BCD$中，$BC = 10$，根据勾股定理$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，又$CD = BD$，所以$2BD^{2}=100$，解得$BD = CD = 5\sqrt{2}$。
(2)
连接$OB$、$OD$，因为$AD$平分$\angle CAB$，$\angle CAB = 60^{\circ}$，所以$\angle DAB=\frac{1}{2}\angle CAB = 30^{\circ}$。
根据同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，$\angle BOD = 2\angle BAD=60^{\circ}$。
又因为$OB = OD$，所以$\triangle BOD$是等边三角形。
已知$\odot O$的直径为$10$，则半径$OB = 5$，所以$BD = OB = 5$。
综上，
(1)中$AC = 8$，$BD = 5\sqrt{2}$，$CD = 5\sqrt{2}$；
(2)中$BD$的长为$5$。

1. 若$AB是半径为5cm的\odot O$中的一条弦,且$AB = 8cm$,则$\odot O上到AB距离为3cm$的点有2个.

答案： 2

2. 如图,$PA$、$PB都是\odot O$的切线,切点分别为$A$、$B$,$\angle APB = 60^{\circ}$,$\odot O的半径是3cm$,则$\angle AOB = $120°,$PA = $3√3cm.

答案： 120°，3√3cm

3. 已知一个扇形的半径为$60cm$,圆心角为$150^{\circ}$,用它围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆半径为25$cm$.

答案： $25$