《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

1. 下列命题中,真命题有(B)
① 任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆；② 任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形；③ 任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆；④ 任意一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

2. 若 $ \triangle ABC $ 的内切圆半径为 $ r $,$ \triangle ABC $ 的周长为 $ l $,则 $ \triangle ABC $ 的面积为 $\frac{1}{2}lr$.

答案： $\frac{1}{2}lr$

3. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 72^{\circ} $,若 $ I $ 是 $ \triangle ABC $ 的内心,则 $ \angle BIC = $ $126^{\circ}$；若 $ I $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心,则 $ \angle BIC = $ $144^{\circ}$.

答案： $126^{\circ}$；$144^{\circ}$（按照题目顺序分别填写答案）

4. 如图,$ \odot O $ 与 $ \triangle ABC $ 各边分别切于点 $ D $、$ E $、$ F $,且 $ \angle C = 60^{\circ} $,$ \angle EOF = 100^{\circ} $. 求 $ \angle B $ 的度数.

答案： 连接OE、OF，
∵⊙O与△ABC各边分别切于点D、E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB（切线垂直于过切点的半径），
∴∠OEA=∠OFA=90°，
在四边形OFAE中，∠OFA+∠OEA+∠A+∠EOF=360°，
∵∠EOF=100°，
∴∠A=360°-∠OFA-∠OEA-∠EOF=360°-90°-90°-100°=80°，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=60°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-80°-60°=40°．
40°

1. 如图,$ \triangle ABC $ 的内心为 $ O $,连接 $ AO $ 并延长交 $ \triangle ABC $ 的外接圆于点 $ D $,则线段 $ DO $ 与 $ DB $ 的关系是(A)

A.$ DO = DB $
B.$ DO ＞ DB $
C.$ DO ＜ DB $
D.不确定

答案： A

2. 古希腊的几何学家海伦在著作《度量论》中给出了“已知三角形的三边长求三角形面积”的计算公式(海伦公式):$ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $(其中 $ a $、$ b $、$ c $ 是三角形的三边长,$ p = \frac{a + b + c}{2} $,$ S $ 为三角形的面积),并给出了证明. 对于这个问题还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式解决.
如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BC = 5 $,$ AC = 6 $,$ AB = 9 $.
(1) 用海伦公式求 $ \triangle ABC $ 的面积；
(2) 求 $ \triangle ABC $ 的内切圆半径 $ r $.

答案：
(1)
已知$a = 5$，$b = 6$，$c = 9$，
则$p=\frac{a + b + c}{2}=\frac{5 + 6 + 9}{2}=10$。
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=\sqrt{10×(10 - 5)×(10 - 6)×(10 - 9)}$
$=\sqrt{10×5×4×1}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$。
(2)
根据三角形面积公式$S = pr$（$p$为半周长，$r$为内切圆半径），
已知$S = 10\sqrt{2}$，$p = 10$，
则$r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{2}}{10}=\sqrt{2}$。
综上，（1）$\triangle ABC$的面积为$10\sqrt{2}$；（2）$\triangle ABC$的内切圆半径$r$为$\sqrt{2}$。