《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

2. 用配方法解下列方程：
(1) $3x^{2}-12x + 1 = 0$；
(2) $4x^{2}-12x - 1 = 0$；
(3) $-2x^{2}+x + 1 = 0$；
(4) $\frac{1}{2}x^{2}-2x - 1 = 0$。

答案：
(1) $3x^{2}-12x + 1 = 0$
两边同除以3：$x² - 4x + \frac{1}{3} = 0$
移项：$x² - 4x = -\frac{1}{3}$
配方：$x² - 4x + 4 = -\frac{1}{3} + 4$，即$(x - 2)² = \frac{11}{3}$
开平方：$x - 2 = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
解得：$x = 2 \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$
∴$x₁=2 + \frac{\sqrt{33}}{3}$，$x₂=2 - \frac{\sqrt{33}}{3}$
(2) $4x^{2}-12x - 1 = 0$
两边同除以4：$x² - 3x - \frac{1}{4} = 0$
移项：$x² - 3x = \frac{1}{4}$
配方：$x² - 3x + \frac{9}{4} = \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$，即$(x - \frac{3}{2})² = \frac{5}{2}$
开平方：$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$
解得：$x = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{2}$
∴$x₁=\frac{3 + \sqrt{10}}{2}$，$x₂=\frac{3 - \sqrt{10}}{2}$
(3) $-2x^{2}+x + 1 = 0$
两边同乘$-1$：$2x² - x - 1 = 0$
两边同除以2：$x² - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移项：$x² - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
配方：$x² - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$，即$(x - \frac{1}{4})² = \frac{9}{16}$
开平方：$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得：$x = \frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}$
∴$x₁=1$，$x₂=-\frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{2}x^{2}-2x - 1 = 0$
两边同乘2：$x² - 4x - 2 = 0$
移项：$x² - 4x = 2$
配方：$x² - 4x + 4 = 2 + 4$，即$(x - 2)² = 6$
开平方：$x - 2 = \pm \sqrt{6}$
解得：$x = 2 \pm \sqrt{6}$
∴$x₁=2 + \sqrt{6}$，$x₂=2 - \sqrt{6}$

1. 若 $4x^{2}-(m + 2)x + 1 = 0$ 的左边可以写成一个完全平方式,则 $m$ 的值是$2$或$-6$。

答案： $2$或$-6$（或填 $-6$或$2$）

2. 把关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-3x + p = 0$ 配方,得 $(x + m)^{2}= \frac{1}{2}$。
(1) 求常数 $p$ 与 $m$ 的值；
(2) 求此方程的解。

答案：
(1)
已知方程$2x^{2}-3x + p = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{p}{2}=0$。
配方：$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}+\frac{p}{2}=0$，即$(x - \frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}-\frac{p}{2}$。
因为$(x + m)^{2}=\frac{1}{2}$，所以$m=-\frac{3}{4}$，$\frac{9}{16}-\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$。
由$\frac{9}{16}-\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，通分得$\frac{9}{16}-\frac{8}{16}=\frac{p}{2}$，$\frac{p}{2}=\frac{1}{16}$，解得$p=\frac{1}{8}$。
(2)
因为$(x-\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{2}$，
开平方得$x-\frac{3}{4}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。
当$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$x=\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}$；
当$x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$x=\frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}$。
综上，
(1) $p = \frac{1}{8}$，$m=-\frac{3}{4}$；
(2) 方程的解为$x_{1}=\frac{3 + 2\sqrt{2}}{4}$，$x_{2}=\frac{3 - 2\sqrt{2}}{4}$。

3. 小明在求代数式 $-2x^{2}+4x - 5$ 的值时发现代入不同的 $x$ 值,该代数式的值都小于 $0$。他猜想：无论 $x$ 取何值,代数式 $-2x^{2}+4x - 5$ 的值都小于 $0$。他的猜想是否正确？如果正确,请你证明结论。

答案： 小明的猜想正确。证明如下：
$\begin{aligned}-2x^{2}+4x - 5&=-2(x^{2}-2x)-5\\&=-2(x^{2}-2x + 1 - 1)-5\\&=-2[(x - 1)^{2}-1]-5\\&=-2(x - 1)^{2}+2 - 5\\&=-2(x - 1)^{2}-3\end{aligned}$
因为$(x - 1)^{2}\geq0$，所以$-2(x - 1)^{2}\leq0$，则$-2(x - 1)^{2}-3\leq - 3\lt0$。
结论：无论$x$取何值，代数式$-2x^{2}+4x - 5$的值都小于$0$。