《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

18. (5分)已知关于$x的方程5x^{2}+kx - 10 = 0的一个根是-5$,求它的另一个根及$k$的值。

答案： 把$x = -5$代入方程$5x^{2}+kx - 10 = 0$，得$5×(-5)^{2}+k×(-5)-10 = 0$，即$5×25 - 5k - 10 = 0$，$125 - 5k - 10 = 0$，$115 - 5k = 0$，解得$k = 23$。
设方程的另一个根为$x_{1}$，由根与系数的关系，得$-5x_{1}=\frac{-10}{5}=-2$，解得$x_{1}=\frac{2}{5}$。
另一个根为$\frac{2}{5}$，$k$的值为$23$。

19. (6分)求证：不论$m$取何值,关于$x的方程(x - 1)(x - 2)= m^{2}$总有两个不相等的实数根。

答案： 答题卡：
由题意，将方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$展开，得到：
$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$，
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，其判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
将$a = 1, b = -3, c = 2 - m^2$代入，得到：
$\Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × (2 - m^2) = 9 - 8 + 4m^2 = 1 + 4m^2$，
由于$m^2$始终非负，所以$1 + 4m^2 ＞ 0$，
即：$\Delta ＞ 0$，
根据判别式的性质，当$\Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根。
结论：不论$m$取何值，关于$x$的方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$总有两个不相等的实数根。

20. (7分)某水果批发商场经销一种精品水果。如果每千克盈利10元,每天可售出500kg。经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20kg。现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？

答案： 设每千克应涨价$x$元。
根据题意，每千克盈利为$(10 + x)$元，日销售量为$(500 - 20x)$kg，盈利为6000元，可得方程：
$(10 + x)(500 - 20x) = 6000$
展开并整理：
$5000 + 500x - 200x - 20x^2 = 6000$
$-20x^2 + 300x - 1000 = 0$
两边同除以$-20$：
$x^2 - 15x + 50 = 0$
因式分解：
$(x - 5)(x - 10) = 0$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 10$。
因为要使顾客得到实惠，应选择较小的涨价金额，故$x = 5$。
答：每千克应涨价5元。