《2025年伴你学九年级数学上册苏科版》

14. (14分)如图,BE是⊙O的直径,A、D是⊙O上的两点,连接AE、AD、DE,过点A作射线交BE的延长线于点C,使∠EAC= ∠EDA.
(1) 求证:AC是⊙O的切线;
(2) 若CE= AE= 2√{3},求阴影部分的面积.

答案：
(1) 证明见上；
(2) 2π-3√3。

15. (12分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.
(1) 求证:∠A= ∠BCD.
(2) 若M是线段BC上的一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?说明理由.

答案：
(1)证明：
∵AC为⊙O直径，
∴∠ADC=90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°。
在Rt△BDC中，∠BDC=90°（∠ADC=90°），
∴∠BCD+∠B=90°。
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）。
(2)当M为BC中点时，DM与⊙O相切。
理由：连接OD。
∵AC为⊙O直径，O为AC中点，
∴OA=OD，∠A=∠ADO（等边对等角）。
若DM与⊙O相切，则OD⊥DM（切线垂直于过切点的半径），即∠ODM=90°。
∵∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠ODC=90°。
又∠ODM=90°，即∠ODC+∠CDM=90°，
∴∠ADO=∠CDM。
由
(1)知∠A=∠BCD，又∠A=∠ADO，
∴∠CDM=∠BCD。
∴△CDM中，CM=DM（等角对等边）。
在Rt△BDC中，M为BC中点时，CM=DM（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∴当M为BC中点时，DM与⊙O相切。