《2025年课时练人民教育出版社七年级数学上册人教版》

2. 如图,长方形的长为 $ a $,宽为 $ 2b $。
(1) 用含 $ a $,$ b $ 的代数式表示图中阴影部分的面积 $ S $。
(2) 当 $ a = 5 cm $,$ b = 2 cm $ 时,求阴影部分的面积。(其中 $ \pi $ 取 $ 3.14 $)

答案：
(1) 长方形的面积为 $a × 2b = 2ab$，
两个半圆的直径均为 $2b$，半径为 $b$，
两个半圆合起来为一个整圆，其面积为 $\pi b^{2}$，
阴影部分的面积 $S$ 为长方形面积减去圆的面积，
即：$S = 2ab - \pi b^{2}$。
(2) 当 $a = 5cm$，$b = 2cm$ 时，
代入 $S = 2ab - \pi b^{2}$ 得：
$S = 2 × 5 × 2 - 3.14 × 2^{2}$
$= 20 - 12.56$
$= 7.44 (cm^2)$
故阴影部分面积为 $7.44 cm^2$。

【例 3】甲、乙两人分别从相距 $ s km $ 的 $ A $,$ B $ 两地同时出发,驾车沿相同路线相向而行,它们的平均速度分别是 $ a km/h $ 与 $ b km/h $。
(1) 用代数式表示甲、乙两人从出发到相遇的时长；
(2) 当 $ s = 260 $,$ a = 70 $,$ b = 60 $ 时,求甲、乙两人从出发到相遇的时长。
解：
【规律方法】
用代数式表示实际问题中的数量关系时,赋予代数式中的字母某一具体的值就可求得相应代数式的值,该值也具有一定的实际意义,可以解决一些生活中的问题。

答案：
(1) 设甲、乙两人从出发到相遇的时长为 $t$ 小时。
由于甲、乙两人是相向而行，他们的相对速度为 $a + b$ km/h。
根据题意，两人从相距 $s$ km的两地出发，到相遇时他们共同行驶的距离为 $s$ km。
因此，有：
$t = \frac{s}{a + b}$
(2) 当 $s = 260$，$a = 70$，$b = 60$ 时，
代入 $t = \frac{s}{a + b}$ 得：
$t = \frac{260}{70 + 60} = \frac{260}{130} = 2$
故甲、乙两人从出发到相遇的时长为 $2$ 小时。

3. 某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为 $ 4 $ 元/本、$ 10 $ 元/本,现购进 $ m $ 本甲种书和 $ n $ 本乙种书。
(1) 用含 $ m $,$ n $ 的代数式表示总费用；
(2) 若共购进 $ 1000 $ 本甲种书及 $ 2000 $ 本乙种书,求总费用。

答案：
(1) $4m + 10n$；
(2) 24000 元。

物品打包
某社区节日期间为老人送爱心,志愿者小明和小华利用周末参加志愿活动,帮助社区打包物品。
【知识准备】
当 $ x = 6 $,$ y = 4 $ 时,求下列各代数式的值。
(1) $ (x + y)(x - y) = $20；
(2) $ x^{2} + 2xy + y^{2} = $100。
【物品打包】
包装物品用到的箱子的长、宽、高分别为 $ a cm $,$ b cm $,$ c cm $,如图所示,小明和小华在打包时,分别采用了甲、乙两种打包方式(单位：$ cm $,打包带不计接头处的长)。

(1) 用含 $ a $,$ b $,$ c $ 的式子分别表示甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度：甲需要2a+2b+4c$ cm $,乙需要4a+2b+2c$ cm $。
(2) 当 $ a = 50 $,$ b = 40 $,$ c = 30 $ 时,写出甲、乙两种打包方式所用的打包带的长度：甲需要300$ cm $,乙需要340$ cm $。

答案： 【知识准备】
(1)20
(2)100
【物品打包】
(1)2a+2b+4c；4a+2b+2c
(2)300；340