《2025年同步练习上海科学技术出版社七年级数学上册沪科版》

8. 关于 $x$,$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x - y = 7\\ax + y = b\end{cases} $ 与 $\begin{cases}x + by = a\\3x + y = 8\end{cases} $ 的解相同,求 $a$,$b$ 的值。

答案： $a=1,b=2$

9. 阅读材料：善于思考的小强同学在解方程组 $\begin{cases}2x + 5y = 3, &①\\4x + 11y = 5 &②\end{cases} $ 时,采用了如下解法：
解：将方程②变形为 $4x + 10y + y = 5$,即 $2(2x + 5y)+y = 5$ ③。
把方程①代入③得 $2×3 + y = 5$,即 $y = -1$。
把 $y = -1$ 代入方程①,得 $x = 4$。
所以方程组的解为 $\begin{cases}x = 4\\y = -1\end{cases} $。
请你解决以下问题：
(1) 模仿小强同学的方法解方程组 $\begin{cases}3x + 4y = 16\\6x + 9y = 25\end{cases} $；
(2) 已知 $x$,$y$ 满足方程组 $\begin{cases}x^2 + xy + 3y^2 = 11\\3x^2 - 5xy + 9y^2 = 49\end{cases} $,求 $xy$ 的值。

答案： $(1)$ 解方程组$\begin{cases}3x + 4y = 16&①\\6x + 9y = 25&②\end{cases}$
解：
将方程②变形为$6x + 8y + y = 25$，即$2(3x + 4y)+y = 25$ ③。
把方程①代入③得$2×16 + y = 25$，
即$32 + y = 25$，
解得$y = 25 - 32=-7$。
把$y = - 7$代入方程①，得$3x+4×(-7)=16$，
即$3x - 28 = 16$，
$3x=16 + 28$，
$3x = 44$，
解得$x=\frac{44}{3}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{44}{3}\\y = - 7\end{cases}$。
$(2)$ 求$xy$的值
解：
由方程$x^{2}+xy + 3y^{2}=11$可得$3x^{2}+3xy + 9y^{2}=33$ ③。
用方程$3x^{2}-5xy + 9y^{2}=49$减去③得：
$(3x^{2}-5xy + 9y^{2})-(3x^{2}+3xy + 9y^{2})=49 - 33$，
去括号得$3x^{2}-5xy + 9y^{2}-3x^{2}-3xy - 9y^{2}=16$，
合并同类项得$-8xy = 16$，
解得$xy=-2$。
综上，$(1)$方程组的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x=\frac{44}{3}\\y = - 7\end{cases}}$；$(2)$$xy$的值为$\boldsymbol{-2}$。