《2025年同步练习上海科学技术出版社七年级数学上册沪科版》

7. 小明在计算一个多项式减去$2(3a^{2} + a - 5)$的差时,因疏忽,在去括号时忘了用“$2$”与括号里的“$3a^{2} + a - 5$”的后两项相乘,结果得到的差为$a^{2} + 3a - 1$,求这个算式的正确结果。

答案： a²+2a+4

8. 一个三位数,若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和,那么称这个三位数为“和谐数”。
(1) 最小的三位“和谐数”是110,最大的三位“和谐数”是990；
(2) 若一个“和谐数”的个位数字为$a(a \geq 0)$,十位数字为$b(b \geq 1$,$b ＞ a且a$,$b$都是自然数),请用含$a$,$b$的代数式表示该“和谐数”；
$110b - 99a$
(3) 判断任意一个三位“和谐数”能否被$11$整除,若能,请说明理由,若不能,请举出反例。
能，理由：设一个三位“和谐数”的百位数字为$m$，十位数字为$n$，个位数字为$p$，则$n=m + p$，这个三位数为$100m + 10n + p=100m+10(m + p)+p=110m + 11p = 11(10m + p)$，因为$m$，$p$都是整数，所以$11(10m + p)$能被$11$整除。

答案： 1. （1）
设这个三位数的百位数字为$x$，十位数字为$y$，个位数字为$z$，根据“和谐数”定义$y = x + z$。
因为是三位数，百位数字$x\geq1$。
要使三位数最小，百位数字$x = 1$，当$z = 0$时，$y=x + z=1$，所以最小的三位“和谐数”是$110$。
要使三位数最大，百位数字$x = 9$，因为$y=x + z$且$y\leq9$，当$z = 0$时，$y = 9$，所以最大的三位“和谐数”是$990$。
2. （2）
已知个位数字为$a$，十位数字为$b$，因为$y=x + z$（$y$是十位数字，$x$是百位数字，$z$是个位数字），所以百位数字$x=b - a$。
根据三位数的表示方法：$N = 100x+10y + z$，将$x=b - a$，$y = b$，$z = a$代入可得：
$N=100(b - a)+10b + a$。
展开式子：$N=100b-100a + 10b + a=110b-99a$。
3. （3）
解：设一个三位“和谐数”的百位数字为$m$，十位数字为$n$，个位数字为$p$，则$n=m + p$（$m$为百位数字，$m\geq1$且$m$为整数，$n$为十位数字，$0\leq n\leq9$，$p$为个位数字，$0\leq p\leq9$）。
这个三位数表示为$100m + 10n + p$，把$n=m + p$代入得：
$100m+10(m + p)+p$。
展开式子：$100m + 10m+10p + p$。
合并同类项：$110m + 11p$。
提取公因式$11$得：$11(10m + p)$。
因为$m$，$p$都是整数，所以$11(10m + p)$能被$11$整除。
故答案依次为：（1）$110$，$990$；（2）$110b - 99a$；（3）能，理由：设一个三位“和谐数”的百位数字为$m$，十位数字为$n$，个位数字为$p$，则$n=m + p$，这个三位数为$100m + 10n + p=100m+10(m + p)+p=110m + 11p = 11(10m + p)$，因为$m$，$p$都是整数，所以$11(10m + p)$能被$11$整除。

9. 如图所示,1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形,它恰能被分割成$10$个大小不同的正方形,其中标注$1$,$2的正方形边长分别为x$,$y$,请你计算：
(1) 第$3个正方形的边长= $x + y,第$5个正方形的边长= $x+3y,第$10个正方形的边长= $3y−3x；(用含$x$,$y$的代数式表示)
(2) 当$x = 2$时,第$9个正方形的面积= $100；
(3) 当$x$,$y$均为正整数时,求这个完美长方形的最小周长；
第1个正方形的边长为x，第2个正方形的边长为y,第3个正方形的边长为x+y,第4个正方形的边长为x+2y，第5个正方形的边长为x+3y，第6个正方形的边长为x+3y+(y−x)=4y，第7个正方形的边长为4y−x，第10个正方形的边长为4y−x−x−(x+y)=3y−3x，第8个正方形的边长为4y−x+3y−3x=7y−4x，第9个正方形的边长为7y−4x+3y−3x=10y−7x，第9个正方形的边长又可表示为x+y+x+2y−(3y−3x)=5x,所以10y−7x=5x，即可得出y=1.2x.完美长方形周长=2(x+3y+4y+x+2y+x+3y+5x)=2(12y+8x)=44.8x.由于x,y均为正整数,所以取x=5，y=6,此时完美长方形的周长为44.8x=44.8×5=224.答:这个完美长方形的最小周长为224；
(4) 上网查找有关完美长方形与完美正方形的知识,与同学进行分享。
略

答案：
(1)x + y x+3y 3y−3x；
(2)100 提示:第9个正方形的边长=x+y+x+2y−(3y−3x)=5x，当x=2时,第9个正方形的边长=5x=10,所以第9个正方形的面积为100；
(3)第1个正方形的边长为x，第2个正方形的边长为y,第3个正方形的边长为x+y,第4个正方形的边长为x+2y，第5个正方形的边长为x+3y，第6个正方形的边长为x+3y+(y−x)=4y，第7个正方形的边长为4y−x，第10个正方形的边长为4y−x−x−(x+y)=3y−3x，第8个正方形的边长为4y−x+3y−3x=7y−4x，第9个正方形的边长为7y−4x+3y−3x=10y−7x，第9个正方形的边长又可表示为x+y+x+2y−(3y−3x)=5x,所以10y−7x=5x，即可得出y=1.2x.完美长方形周长=2(x+3y+4y+x+2y+x+3y+5x)=2(12y+8x)=44.8x.由于x,y均为正整数,所以取x=5，y=6,此时完美长方形的周长为44.8x=44.8×5=224.答:这个完美长方形的最小周长为224；
(4)略