《2025年同步练习上海科学技术出版社七年级数学上册沪科版》

8. 计算、观察、猜想与应用：
(1) 算一算：两组算式$(3 × 5)^{2}与3^{2} × 5^{2}$,$[(-2) × 3]^{2}与(-2)^{2} × 3^{2}$,每组两个算式的结果是否相同？
(2) 想一想：$(ab)^{3}$等于什么？
(3) 猜一猜：当$n$为正整数时,$(ab)^{n}$等于什么？
(4) 用一用：利用上述结论,求$(-8)^{2024} × \left(\frac{1}{8}\right)^{2023}$的值.

答案：
(1)相同；
(2)$a^3b^3$；
(3)$a^nb^n$；
(4)8

9. 这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋,国王输了. 国王问阿基米德：“你要什么奖赏？”阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放$1$粒米,第二格放$2$粒,第三格放$4$粒,第四格放$8$粒……按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了. 计算完米粒数后,国王惊呆了.
(1) 我们知道,国际象棋共有$64$个格子,则在第$64$格中应放多少粒米(用幂表示)?
(2) 求国王输给阿基米德的米粒数(用幂表示).

答案：
(1)$2^{63}$；
(2)设$x=1+2+2^2+\cdots+2^{63}$①. 等式两边同时乘以2，得$2x=2+2^2+2^3+\cdots+2^{64}$②. ②-①，得$x=2^{64}-1$. 即：国王输给阿基米德的米粒数为$2^{64}-1$