《2025年同步练习上海科学技术出版社七年级数学上册沪科版》

8. 你喜欢吃“手拉面”吗？拉面馆的师傅,用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,如图所示(假设在拉的过程中面条没有断).
(1) 经过$3$次捏合后,可以拉出8根细面条；
(2) 到第几次捏合后可拉出$32$根细面条?
5
(3) 经过$n$次捏合后,可以拉出多少根细面条(用$n$的式子表示)?
$2^n$
(4) 假设每根细面条的长度是$60 cm$,则捏合$10$次后,拉出的细面条的总长度为多少米？
$2^{10}× 0.6=614.4(m)$

答案：
(1)8；
(2)5；
(3)$2^n$；
(4)$2^{10}× 0.6=614.4(m)$

9. 计算、观察、归纳与应用：
(1) 计算：$2^{1}= 2$, $2^{2}= 4$, $2^{3}= 8$, $2^{4}= 16$, $2^{5}= $32, $2^{6}= $______64, $2^{7}= $______128, $2^{8}= $______256;
(2) 观察与归纳：$2^{n}(n为正整数)$的末位数字有何规律？
(3) 你能说出$2^{2023}$的末位数字吗？

答案：
(1)32；64；128；256；
(2)当$n=4k+1$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为2；当$n=4k+2$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为4；当$n=4k+3$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为8；当$n=4k+4$（$k$为自然数）时，$2^n$的末位数字为6；
(3)8

你能比较两个数$2023^{2024}和2024^{2023}$的大小吗？为了解决这个问题,先把问题一般化,即比较$n^{n + 1}和(n + 1)^{n}的大小(n \geq 1$,$n是整数)$,然后从分析$n = 1$,$n = 2$,$n = 3$,$\ldots$这些简单情形入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论.
(1) 通过计算,比较下列①～⑥各组的两个数的大小(在横线上填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)：
① $1^{2}$＜$2^{1}$; ② $2^{3}$＜$3^{2}$; ③ $3^{4}$＞$4^{3}$;
④ $4^{5}$＞$5^{4}$; ⑤ $5^{6}$＞$6^{5}$; ⑥ $6^{7}$＞$7^{6}$; …
(2) 从上面各小题的结果经过归纳,猜想$n^{n + 1}和(n + 1)^{n}$的大小关系；
(3) 根据上面归纳猜想的一般结论,可以得到$2023^{2024}$＞$2024^{2023}$(在横线上填“$＞$”“$=$”或“$＜$”).
(2)当$n=1,2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n\geq 3$时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$

答案：
(1)＜；＜；＞；＞；＞；＞；
(2)当$n=1,2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n\geq 3$时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$；
(3)＞