《2025年同步练习上海科学技术出版社七年级数学上册沪科版》

8. 将一批会计报表输入电脑,甲单独做需要 20 h 完成,乙单独做需要 12 h 完成. 现在先由乙单独做 4 h,剩下部分由甲、乙两人合作完成. 他们共得 900 元的报酬,根据甲、乙两人工作量分配报酬,两人各得多少元报酬？

答案： 甲 225 元，乙 675元

古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的 $\frac{1}{6}$ 是幸福的童年；再活了他生命的 $\frac{1}{12}$,两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的 $\frac{1}{7}$,他结婚了；再过 5 年,他有了儿子,感到很幸福；可儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后,他在极度痛苦中度过了 4 年,与世长辞了。”
(1) 他结婚时的年龄是多少？
(2) 他去世时的年龄是多少？

答案： $(1)$ 求他结婚时的年龄
设丢番图去世时的年龄为$x$岁。
结婚时年龄是生命的$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{7}$，即$(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{7})x$。
先对$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{7}$进行通分，$6$、$12$、$7$的最小公倍数是$84$，则$\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{7}=\frac{14}{84}+\frac{7}{84}+\frac{12}{84}=\frac{14 + 7+12}{84}=\frac{33}{84}=\frac{11}{28}$。
$(2)$ 求他去世时的年龄
根据题意可列方程：
$\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x + 5+\frac{1}{2}x+4=x$
解(证明)：
步骤一：通分
方程两边同时乘以$84$（$6$、$12$、$7$、$2$的最小公倍数）去分母得：
$84×\frac{1}{6}x+84×\frac{1}{12}x+84×\frac{1}{7}x + 84×5+84×\frac{1}{2}x+84×4=84x$
即$14x + 7x+12x+420 + 42x+336 = 84x$。
步骤二：移项合并同类项
将含有$x$的项移到等号一边，常数项移到等号另一边得：
$14x + 7x+12x+42x-84x=-420 - 336$
$(14 + 7+12+42-84)x=-756$
$(75 - 84)x=-756$
$-9x=-756$。
步骤三：求解$x$
方程两边同时除以$-9$得：$x = 84$。
把$x = 84$代入$(\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{7})x$可得结婚时年龄为$\frac{11}{28}×84 = 33$（岁）。
综上，$(1)$ 他结婚时的年龄是$\boldsymbol{33}$岁；$(2)$ 他去世时的年龄是$\boldsymbol{84}$岁。