《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

22. (12分)在乘法公式的学习中,我们采用了构造几何图形的方法研究问题,通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式,我们把这种方法称为等面积法。类似地,通过不同的方法求同一个立体图形的体积,我们称为等体积法。
根据课堂学习的经验,解决下列问题：
在一个棱长为$a的正方体中挖出一个棱长为b$的正方体(如图1),然后利用切割的方法把剩余的立体图形(如图2)分成三部分(如图3),这三部分长方体的体积依次为$b^{2}(a - b)$,$ab(a - b)$,$a^{2}(a - b)$。
(1)分解因式：$a^{2}(a - b) + ab(a - b) + b^{2}(a - b) = $$(a - b)(a² + ab + b²)$。
(2)请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：(用含有$a$,$b$的代数式表示)
①$a³ - b³$；②$b²(a - b) + ab(a - b) + a²(a - b)$。
思考：类比平方差公式,你能得到的等式为$a³ - b³=(a - b)(a² + ab + b²)$。
(3)应用：利用在(2)中所得到的等式进行因式分解：$x^{3} - 125$。
$x³ - 125 = x³ - 5³=(x - 5)(x² + 5x + 25)$
(4)拓展：已知$a - 2b = 6$,$ab = - 2$,求$a^{4}b - 8ab^{4}$的值。
$a⁴b - 8ab⁴ = ab(a³ - 8b³)=ab(a - 2b)(a² + 2ab + 4b²)=ab(a - 2b)[(a - 2b)² + 6ab]$，当$a - 2b = 6$,$ab = - 2$时，原式$= - 2×6×(36 - 12)= - 288$

答案： 解:
(1)(a-b)(a²+ab+b²)
(2)①a³-b³ ②b²(a-b)+ab(a-b)+b²(a-b)
思考:a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
(3)x³-125=x³-5³=(x-5)(x²+5x+25).
(4)a⁴b-8ab⁴=ab(a³-8b³)=ab(a-2b)(a²+2ab+4b²)=ab(a-2b)[(a-2b)²+6ab],
当a-2b=6,ab=-2时,原式=-2×6×(36-12)=-288.

23. (12分)(大连期末)【问题背景】
在如今信息快速发展的时代,“密码”与我们的生活已经紧密相连,密不可分,而诸如生日,连续数字等简单密码又容易被破解,密码过于复杂自己又容易忘记,因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了。
某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法,其中有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆。其原理是：将一个多项式分解因式,如多项式$x^{3} - x分解因式的结果为x(x + 1)(x - 1)$,当$x = 10$时,$x + 1 = 11$,$x - 1 = 9$,此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011。
【实际应用】
(1)根据上述方法,小明同学设置了智学网登录密码：多项式$x^{3} - xy^{2}分解因式后利用x$,$y$的数值设置密码,当$x = 9$,$y = 3$时,请破解小明的密码是多少；
(2)学校管理员设置了一个密码,一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底分别为不同的整数$x$,$y$,请你破解出由多项式$x^{3} - 4xy^{2}$分解因式后得到的密码；
【拓展应用】
(3)若多项式$x^{3} + (m - 2n)x^{2} + 5nx$分解因式后,利用前面的方法,当$x = 24$时,可以得到密码为242932,求$m$,$n$的值。

答案： 解:
(1)x³-xy²=x(x²-y²)=x(x+y)(x-y),
当x=9,y=3时,x+y=9+3=12,x-y=9-3=6,
∴小明的密码是060912.
(2)
∵一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底分别为不同的整数x,y,
∴2x+y=12.
∵x,y都为整数,
∴{x=5,y=2或{x=4,y=4(不合题意,舍去).
x³-4xy²=x(x²-4y²)=x(x+2y)(x-2y),
当x=5,y=2时,x+2y=5+2×2=9,x-2y=5-2×2=1,
∴多项式x³-4xy²分解因式后得到的密码为010509.
(3)x³+(m-2n)x²+5nx=x[x²+(m-2n)x+5n],
设x[x²+(m-2n)x+5n]=x(x+a)(x+b)=x[x²+(a+b)x+ab],
∵当x=24时,可以得到密码为242932,
∴x+a=29,x+b=32,
∴a=5,b=8,
∴a+b=13,ab=40,
∴{m-2n=13,5n=40,
解得{m=29,n=8.