《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

20. (8分)下面是某同学对多项式$(x^{2} - 4x + 2)(x^{2} - 4x + 6) + 4$进行分解因式的过程。
解：设$x^{2} - 4x = y$,则
原式$= (y + 2)(y + 6) + 4$(第一步)
$= y^{2} + 8y + 16$(第二步)
$= (y + 4)^{2}$(第三步)
$= (x^{2} - 4x + 4)^{2}$。(第四步)
回答下列问题：
(1)该同学分解因式的结果是否彻底？若不彻底,请直接写出分解因式的最后结果。
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2} - 2x)(x^{2} - 2x + 2) + 1$进行因式分解。

答案： 解:
(1)该同学分解因式的结果不彻底,结果为(x-2)⁴.
(2)设x²-2x=y,则原式=y(y+2)+1=y²+2y+1=(y+1)²=(x²-2x+1)²=(x-1)⁴.

21. (10分)(新考法·新定义阅读)在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“智慧数”。例如：$12 = 4^{2} - 2^{2}$,$20 = 6^{2} - 4^{2}$,$28 = 8^{2} - 6^{2}$,我们称12,20,28这三个数为“智慧数”。
(1)是36______“智慧数”。(填“是”或“不是”)
(2)设两个连续偶数是$2n和2n + 2$(其中$n$取正整数),由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？
(3)如图,拼叠的正方形的边长是从2开始的连续偶数……,按此规律拼叠到正方形$ABCD$,其边长为100,求阴影部分的面积。

答案： 解:
(1)是
(2)
∵(2n+2)²-(2n)²
=(2n+2+2n)(2n+2-2n)
=2(4n+2)
=4(2n+1),
∴这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数.
(3)(4²-2²)+(8²-6²)+(12²-10²)+…+(100²-98²)
=4×3+4×7+4×11+…+4×99
=4×(3+7+11+…+99)
=4×1/2×(3+99)×25
=5100,
∴阴影部分的面积是5100.