《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

11.(新考法·新定义阅读)当三角形中一个内角$\beta是另一个内角\alpha的\frac{1}{2}$时,我们称此三角形为“希望三角形”,称角$\alpha$为“希望角”。如果一个“希望三角形”中有一个内角为$54^{\circ}$,那么这个“希望三角形”的“希望角”的度数为54°,84°或108°。

答案： 54°,84°或108°

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是\angle BAC$的平分线,$P为AD$延长线上一点,$PE \perp BC于点E$,若$\angle B = 76^{\circ}$,$\angle P = 27^{\circ}$,求$\angle C$的大小。

答案： 解：
∵PE⊥BC，
∴∠PED=90°.
在△PDE中，∠P=27°，
∴∠ADB=∠PDE=180°-∠PED-∠P=63°.
在△ABD中，∠ADB=63°，∠B=76°，
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=41°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=41°.
在△ACD中，
∵∠ADC=180°-∠ADB=180°-63°=117°，
∴∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-117°-41°=22°.

13. 在$\triangle ABC$中,$\angle B = 2\angle C$,$AE平分\angle BAC交BC于点E$。
(1)如图1,若$AD \perp BC于D$,$\angle C = 40^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(2)如图2,若$EF \perp AE交AC于F$,求证：$\angle C = 2\angle FEC$。
]

答案：
(1)解：
∵∠C=40°，∠B=2∠C，
∴∠B=80°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=50°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-30°=20°.
(2)证明：
∵∠B=2∠C，
∴∠BAC=180°-3∠C.
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=90°-$\frac{3}{2}$∠C.
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=180°-∠AEF-∠EAC=$\frac{3}{2}$∠C，
∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-$\frac{3}{2}$∠C，
∴∠FEC=180°-∠EFC-∠C=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠C=2∠FEC.

14.【问题背景】
(1)如图1,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = \angle ACB$,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,求证：$\angle ADE + \angle AED = 2\angle ABC$；
【变式迁移】
(2)如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = \angle ACB$,点$D在边AB$上,连接$CD$,点$F在CD$上,$\angle ADC = 2\angle FBC$,判断$\angle DBF与\angle ACD$的数量关系,并说明理由；
【拓展迁移】
(3)如图3,在(2)的条件下,连接$AF$,使$\angle FAC + \angle DBF = 90^{\circ}$,若$\angle ADC = 60^{\circ}$,求$\angle AFB$的度数。
]

答案：
(1)证明：
∵在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ADE+∠AED=∠ABC+∠ACB.
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ADE+∠AED=2∠ABC.
(2)解：∠ACD=2∠DBF.
理由：由
(1)知∠ADC+∠ACD=2∠ABC，
又
∵∠ABC=∠DBF+∠FBC，
∴∠ADC+∠ACD=2∠DBF+2∠FBC.
∵∠ADC=2∠FBC，
∴∠ACD=2∠DBF.
(3)解：设∠DBF=α，
∵∠ACD=2∠DBF，
∴∠ACF=2α.
∵∠FAC+∠DBF=90°，
∴∠FAC=90°-α.
∵∠ADC=2∠FBC，∠ADC=60°，
∴∠FBC=30°，
∴∠ABC=∠DBF+∠FBC=α+30°.
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC=180°-2(α+30°)=120°-2α，
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=(120°-2α)-(90°-α)=30°-α，
∴∠AFB=180°-∠ABF-∠BAF=180°-α-(30°-α)=150°.