《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D在BC$上,点$E在BA$的延长线上,$DE交AC于点F$,且$DF = EF$. 求证:$CF = AE + AF$.

答案：
证明:如图,过点E作EG//BC交CA的延长线于点G
　　　　　　　　
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵EG//BC,
∴∠G=∠C,∠GEA=∠B,
∴∠GEA=∠G=∠B,
∴AG=AE.
∵∠G=∠C,∠EFG=∠DFC,EF=DF,
∴△EFG≌△DFC(AAS),
∴GF=CF.
∵GF=AG+AF,
∴CF=AE+AF;

2. (盘锦期末)已知$\triangle ABC$是等边三角形,点$D在边AC$上(点$D不与点A,C$重合),点$E是射线BC$上的一个动点(点$E不与点B,C$重合),连接$DE$,以$DE为边作等边三角形DEF$,连接$CF$.
(1)如图1,当$DE的延长线与AB$的延长线相交,且点$C,F在直线DE$的同侧时,过点$D作DG// AB$,$DG交BC于点G$,求证:$CF = EG$;
(2)如图2,当$DE的反向延长线与AB$的反向延长线相交,且点$C,F在直线DE$的同侧时,求证:$CD = CE + CF$;
(3)如图3,当$DE的反向延长线与线段AB$相交,且点$C,F在直线DE$的异侧时,猜想$CD$,$CE$,$CF$之间的等量关系,并说明理由.

答案：

(1)证明:
∵DG//AB,△ABC是等边三角形，
∴∠DGC=∠B=60°,∠GDC=∠A=60°,
∴∠DGC=∠GDC=∠ACB=60°,
∴△DGC是等边三角形,
∴DC=DG.
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF、∠EDF=60°,
∴∠EDG=60°−∠GDF.
∵∠FDC=60°−∠GDF,
∴∠EDG=∠FDC,
∴△EDG≌△FDC(SAS),
∴CF=EG.
(2)证明:如图1,过点D作DG//AB,交BC于点G.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DGC=∠B=60°,∠CDG=∠A=60°,
∴∠DGC=∠CDG=∠ACB=60°,
∴△DGC是等边三角形，
∴DG=CD=CG.
∵△DEF是等边三角形,
∴DE=DF,∠EDF=60°,
∴∠FDC=60°−∠CDE.
∵∠EDG=60°−∠CDE,
∴∠EDG=∠FDC,
∴△EDG≌△FDC(SAS),
∴EG=CF.
∵CG=CE+EG,
∴CG=CE+CF,
∴CD=CE+CF.
　　　　　
(3)解:CF=CD+CE.
理由:如图2,过点D作DG//AB,交BC于点G.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DGC=∠B=60°,∠CDG=∠A=60°,
∴∠DGC=∠CDG=∠ACB=60°,
∴△DGC是等边三角形,
∴DG=CD=CG.
∵△DEF是等边三角形,
∴DE=DF,∠EDF=60°,
∴∠FDC=60°+∠CDE.
∵∠EDG=60°+∠CDE,
∴∠EDG=∠FDC,
∴△EDG≌△FDC(SAS),
∴EG=CF;
∵EG=CG+CE,
∴CF=CD+CE.