《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

8. 观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解:
甲: $ x^{2} - xy + 4x - 4y $
$ = (x^{2} - xy) + (4x - 4y) $ (分成两组)
$ = x(x - y) + 4(x - y) $ (直接提公因式)
$ = (x - y)(x + 4) $.
乙: $ a^{2} - b^{2} - c^{2} + 2bc $
$ = a^{2} - (b^{2} + c^{2} - 2bc) $ (分成两组)
$ = a^{2} - (b - c)^{2} $ (直接运用公式)
$ = (a + b - c)(a - b + c) $.
请你在他们解法的启发下,完成下面的因式分解:
(1) $ m^{3} + 2m^{2} - 3m - 6 $;
(2) $ 9a^{2} - 4b^{2} - 6a + 1 $.

答案： 解:
(1)原式$=(m^{3}+2m^{2})-(3m+6)$
$=m^{2}(m+2)-3(m+2)$
$=(m+2)(m^{2}-3).$
(2)原式$=(9a^{2}-6a+1)-4b^{2}$
$=(3a-1)^{2}-4b^{2}$
$=(3a-1+2b)(3a-1-2b).$

类型五:十字相乘法
9. 【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出: $ (ax + b)(cx + d) = acx^{2} + (ad + bc)x + bd $. 我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得 $ acx^{2} + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d) $. 通过观察可把 $ acx^{2} + (ad + bc)x + bd $ 看作以 $ x $ 为未知数,$ a $, $ b $,$ c $,$ d $ 为常数的二次三项式,此种因式分解是把二次三项式的二次项系数 $ ac $ 与常数项 $ bd $ 分别进行适当的分解来凑一次项的系数,分解过程可形象地表述为 “竖乘得首、尾, 叉乘凑中项”, 如图 1, 这种分解因式的方法称为十字相乘法. 例如: 将二次三项式 $ 2x^{2} + 11x + 12 $ 的二次项系数 $ 2 $ 与常数项 $ 12 $ 分别进行适当的分解, 如图 2,则 $ 2x^{2} + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3) $.

根据阅读材料解决下列问题:
【应用新知】
(1) 用十字相乘法分解因式: $ x^{2} + 3x - 10 = $ $(x+5)(x-2)$;
(2) 用十字相乘法分解因式: $ 5x^{2} - 13x - 6 = $ $(x-3)(5x+2)$;
【拓展提升】
(3) 结合本题知识, 分解因式: $ 6(x + y)^{2} - 7(x + y) - 20 $
原式$=[2(x+y)-5][3(x+y)+4]=(2x+2y-5)(3x+3y+4)$.

答案： 解:
(1)$(x+5)(x-2)$
(2)$(x-3)(5x+2)$
(3)原式$=[2(x+y)-5][3(x+y)+4]$
$=(2x+2y-5)(3x+3y+4).$