《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

12. 先化简,再求值：$(x - 1)(x^{2}+x + 1)-(x - 1)(x^{2}+1)$,其中$x = 2$。

答案： 解:原式$=x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1-x^{3}-x+x^{2}+1=x^{2}-x$.当$x=2$时,原式$=4-2=2$.

13. (大连期末)如图,某市有一块长$(3a + b)m$、宽$(2a + b)m$的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,在中间正方形空白处修建一座雕像。
(1)求绿化的面积。
(2)当$a = 2$,$b = 1$时,绿化的面积是多少平方米？
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答案： 解:
(1)根据题意,得$S_{绿化}=(3a+b)(2a+b)-(a+b)(a+b)=6a^{2}+3ab+2ab+b^{2}-a^{2}-b^{2}-2ab=(5a^{2}+3ab)(m^{2})$.答:绿化的面积是$(5a^{2}+3ab)m^{2}$.
(2)当$a=2,b=1$时,$S_{绿化}=5×2^{2}+3×2×1=20+6=26(m^{2})$.
∴当$a=2,b=1$时,绿化的面积是$26m^{2}$.

14. 已知$(x^{3}+mx + n)(x^{2}-3x + 1)展开后的结果中不含x^{3}和x^{2}$的项。
(1)求$m$,$n$的值；
(2)求$(m + n)(m^{2}-mn + n^{2})$的值。

答案： 解:
(1)原式$=x^{5}-3x^{4}+x^{3}+mx^{3}-3mx^{2}+mx+nx^{2}-3nx+n=x^{5}-3x^{4}+(1+m)x^{3}+(n-3m)x^{2}+(m-3n)x+n$.由展开式中不含$x^{3}$和$x^{2}$的项,得$1+m=0,n-3m=0,$解得$m=-1,n=-3$.
(2)原式$=m^{3}-m^{2}n+mn^{2}+m^{2}n-mn^{2}+n^{3}=m^{3}+n^{3}$.当$m=-1,n=-3$时,原式$=-1-27=-28$.

15. 长方形的长为$a$,宽为$b$,其中$a ＞ b ＞ 1$,如果将原长方形的长增加$3$,宽减少$1$,得到的新长方形面积记为$S_{1}$；如果将原长方形的长和宽各增加$1$,得到的新长方形面积记为$S_{2}$。
(1)试比较$S_{1}与S_{2}$的大小,并说明理由；
(2)如果$S_{1}= 2S_{2}-10$,求将原长方形的长减少$1$、宽增加$3$后得到的新长方形的面积。

答案： 解:
(1)$S_{1}\lt S_{2}$.理由:$\because S_{1}=(a+3)(b-1)=ab-a+3b-3,$$S_{2}=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1,$$\therefore S_{1}-S_{2}=(ab-a+3b-3)-(ab+a+b+1)=ab-a+3b-3-ab-a-b-1=-2a+2b-4=-2(a-b)-4$.$\because a＞b＞1,\therefore a-b＞0,$$\therefore -2(a-b)-4＜0,\therefore S_{1}\lt S_{2}$.
(2)$\because S_{1}=2S_{2}-10,$$\therefore ab-a+3b-3=2ab+2a+2b-10,$$\therefore ab+3a-b-5=0,$
∴新长方形的面积$=(a-1)(b+3)=ab+3a-b-3=5-3=2.$

16. (1)填空：
$(a - b)(a + b)= $$a^{2}-b^{2}$；
$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})= $$a^{3}-b^{3}$；
$(a - b)(a^{3}+a^{2}b + ab^{2}+b^{3})= $$a^{4}-b^{4}$；
…
$(a - b)(a^{2025}+a^{2024}b+…+ab^{2024}+b^{2025})= $$a^{2026}-b^{2026}$。
(2)猜想：
$(a - b)(a^{n - 1}+a^{n - 2}b+…+ab^{n - 2}+b^{n - 1})= $$a^{n}-b^{n}$(其中$n$为正整数,且$n\geq2$)。
(3)利用(2)中猜想的结论计算：$2^{9}-2^{8}+2^{7}-…+2^{3}-2^{2}+2$。
$2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots +2^{3}-2^{2}+2$$=\frac{1}{3}[2-(-1)](2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots +2^{3}-2^{2}+2)$$=\frac{1}{3}[2-(-1)][2^{9}+2^{8}×(-1)+2^{7}×(-1)^{2}+\cdots +2^{3}×(-1)^{6}+2^{2}×(-1)^{7}+2×(-1)^{8}+(-1)^{9}+1]$$=\frac{1}{3}[2-(-1)][2^{9}+2^{8}×(-1)+2^{7}×(-1)^{2}+\cdots +2^{3}×(-1)^{6}+2^{2}×(-1)^{7}+2×(-1)^{8}+(-1)^{9}]+1$$=\frac{1}{3}[2^{10}-(-1)^{10}]+1$$=\frac{1}{3}×(1024-1)+1$$=341+1$$=342.$

答案： 解:
(1)$a^{2}-b^{2}$ $a^{3}-b^{3}$ $a^{4}-b^{4}$ $a^{2026}-b^{2026}$
(2)$a^{n}-b^{n}$
(3)$2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots +2^{3}-2^{2}+2$$=\frac{1}{3}[2-(-1)](2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots +2^{3}-2^{2}+2)$$=\frac{1}{3}[2-(-1)][2^{9}+2^{8}×(-1)+2^{7}×(-1)^{2}+\cdots +2^{3}×(-1)^{6}+2^{2}×(-1)^{7}+2×(-1)^{8}+(-1)^{9}+1]$$=\frac{1}{3}[2-(-1)][2^{9}+2^{8}×(-1)+2^{7}×(-1)^{2}+\cdots +2^{3}×(-1)^{6}+2^{2}×(-1)^{7}+2×(-1)^{8}+(-1)^{9}]+1$$=\frac{1}{3}[2^{10}-(-1)^{10}]+1$$=\frac{1}{3}×(1024-1)+1$$=341+1$$=342.$