《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

22. (12 分)(新考法·新定义阅读)如果三角形的两个内角 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 满足 $ 2\alpha + \beta = 90^{\circ} $,那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”。
(1)若 $ \triangle ABC $ 是“准直角三角形”,$ \angle C ＞ 90^{\circ} $,$ \angle A = 60^{\circ} $,则 $ \angle B = $ 15 $ ^{\circ} $。
(2)如图 1,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $。
① $ BD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,判断：$ \triangle ABD $ 是 (填“是”或“不是”)“准直角三角形”；
② 点 $ E $ 是边 $ BC $ 上一点,$ \triangle ABE $ 是“准直角三角形”,若 $ \angle ABC = 36^{\circ} $,求 $ \angle EAC $ 的度数。
(3)如图 2,$ B $,$ C $ 是直线 $ l $ 上两点,点 $ A $ 在直线 $ l $ 外,且 $ \angle ABC = 56^{\circ} $,若 $ P $ 是 $ l $ 上一点,且 $ \triangle ABP $ 是“准直角三角形”,请求出 $ \angle APB $ 的度数。

答案：
(1)15
(2)①是②解:如图1.
∵∠AEB＞90°,△ABE是"准直角三角形",
∴∠ABE+2∠BAE=90°或2∠ABE+∠BAE=90°.
∵∠ABC=∠ABE=36°,
∴∠BAC=90°-36°=54°,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$(90°-∠ABE)=27°或∠BAE=90°-2∠ABE=18°,
∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=54°-27°=27°或∠EAC=∠BAC-∠BAE=54°-18°=36°,
∴∠EAC的度数为36°或27°.
(3)解:如图2,若点P₁在点B左侧,△ABP₁是"准直角三角形",且2∠BAP₁+∠AP₁B=90°,
∵∠BAP₁+∠AP₁B=∠ABC=56°,
∴∠BAP₁+56°=90°,
∴∠BAP₁=34°,
∴∠AP₁B=∠ABC-∠BAP₁=56°-34°=22°.若点P₂在点B左侧,△ABP₂是"准直角三角形",且2∠AP₂B+∠BAP₂=90°,
∵∠AP₂B+∠BAP₂=∠ABC=56°,
∴∠AP₂B+56°=90°,
∴∠AP₂B=34°.若点P₃在点B右侧,△ABP₃是"准直角三角形",且2∠BAP₃+∠ABP₃=90°,
∵∠ABP₃=∠ABC=56°,
∴2∠BAP₃+56°=90°,
∴∠BAP₃=17°,
∴∠AP₃B=180°-∠ABP₃-∠BAP₃=180°-56°-17°=107°.若点P₄在点B右侧,△ABP₄是"准直角三角形",且2∠AP₄B+∠ABP₄=90°,
∵∠ABP₄=∠ABC=56°,
∴2∠AP₄B+56°=90°,
∴∠AP₄B=17°.综上所述,∠APB的度数为17°,22°,34°或107°.

23. (12 分)在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC ＞ \angle ABC $,三个内角的平分线交于点 $ O $。
(1)如图 1,若 $ \angle BCA = 80^{\circ} $,则 $ \angle AOB $ 的度数为 130°；
(2)如图 1,过点 $ O $ 作 $ OD \perp OC $,交 $ AC $ 于点 $ D $,求证：$ \angle ADO = \angle AOB $；
(3)如图 2,$ CO $ 的延长线交 $ AB $ 于点 $ E $。点 $ M $ 是 $ AB $ 边上的一动点(不与点 $ E $ 重合),过点 $ M $ 作 $ MN \perp CE $ 于点 $ N $,请探索 $ \angle AMN $,$ \angle ABC $,$ \angle BAC $ 三者之间的数量关系。

答案：
(1)130°
(2)证明:
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB.
∵AO平分∠BAC,BO平分∠ABC,
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵OD⊥OC,
∴∠COD=90°.
∵CO平分∠ACB,
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠ADO=∠COD+∠OCD=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠ADO=∠AOB.
(3)解:如图1,当点M在点E的下方时.
∵MN⊥CE,
∴∠MNE=90°.
∵∠AEC+∠BAC+∠ACE=180°,∠MEN+∠MNE+∠AMN=180°,又
∵∠AEC=∠MEN,
∴∠BAC+∠ACE=∠MNE+∠AMN,
∴∠AMN=∠BAC+∠ACE-90°.
∵CO平分∠ACB,∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC,
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠AMN=∠BAC+(90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠BAC)-90°=$\frac{1}{2}$(∠BAC-∠ABC).如图2,当点M在点E的上方时
∵CO平分∠ACB,∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC,
∴∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠AEC=∠ABC+∠BCE=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠BAC,
∴∠AMN=∠AEC+∠ENM=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠BAC+90°=180°-$\frac{1}{2}$(∠BAC-∠ABC).综上所述,∠AMN=$\frac{1}{2}$(∠BAC-∠ABC)或180°-$\frac{1}{2}$(∠BAC-∠ABC).