《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

9. 小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千. 如图,小丽坐在秋千的起始位置 A 处,OA 与地面 MN 垂直,OA 的延长线交 MN 于点 F. 她两脚在地面上用力一蹬,妈妈在 B 处接住她后用力一推,爸爸在 C 处接住她. 已知点 B 距地面的高度 BM = DF = 1m,点 B,C 到 OA 的水平距离 BD,CE 分别为 1.4m 和 1.8m,∠BOC = 90°,点 C 距地面的高度 CN = EF,此时 CN = 1.4 m.

答案： 1.4

10. 如图,已知 Rt△ABC ≌ Rt△ADE,∠ABC = ∠ADE = 90°,BC 与 DE 相交于点 F,连接 CD,EB.
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举；
(2)求证：CF = EF.

答案：
(1)解:△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.
(2)证明:如图，连接AF;
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AB=AD，BC=DE.在Rt△ABF和Rt△ADF中，{AF=AF，AB=AD}，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)，
∴BF=DF.又
∵BC=DE，
∴BC - BF=DE - DF，即CF=EF.

11. 如图,已知 AD,AF 分别是钝角△ABC 和钝角△ABE 的高,如果 AD = AF,AC = AE,求证：BC = BE.

答案： 证明:
∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
∴∠D=∠F=90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，{AC=AE，AD=AF}，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，
∴CD=EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，{AB=AB，AD=AF}，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，
∴BD=BF，
∴BD - CD=BF - EF，即BC=BE.

12. 如图,在△ABC 中,AD ⊥ BC,CE ⊥ AB,垂足分别为 D,E,AD,CE 交于点 H. 已知 EH = EB = 3,AE = 4,求 CH 的长.

答案： 解:
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=∠BEC=90°.
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE.在△HEA和△BEC中，{∠BAD=∠BCE，∠AEH=∠BEC，EH=EB}，
∴△HEA≌△BEC(AAS)，
∴AE=EC=4，
∴CH=EC - EH=4 - 3=1.

13. 在平面直角坐标系中,P(4,4).
(1)如图 1,点 A 在 x 的正半轴运动,点 B 在 y 轴的正半轴上,且 PA = PB.
①求证：PA ⊥ PB；
②求 OA + OB 的值.
(2)如图 2,点 A 在 x 轴的正半轴运动,点 B 在 y 轴的负半轴上,且 PA = PB,求 OA - OB 的值.

答案：
(1)①证明:如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∴PE⊥PF.
∵P(4,4)，
∴PE=PF=4.在Rt△APE和Rt△BPF中，{PA=PB，PE=PF}，
∴Rt△APE≌Rt△BPF(HL)，
∴∠APE=∠BPF，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°，
∴PA⊥PB.
②解:
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴BF=AE.
∵OA=OE+AE，OB=OF - BF，
∴OA+OB=OE+AE+OF - BF=OE+OF=4+4=8.
(2)解:如图2，过点P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理得Rt△APM≌Rt△BPN(HL)，
∴AM=BN.
∵AM=OA - OM=OA - 4，BN=OB+ON=OB+4，
∴OA - 4=OB+4，
∴OA - OB=8.