《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

10. 如图,在$\triangle ABC和\triangle EBD$中,$BD = BC$,$BE = CA$,$\angle DBE = \angle C = 65^{\circ}$,$DE与CA交于点F$。已知$\angle BDE = 80^{\circ}$,则$\angle CFE$的度数为45°。

答案： 45°

11. 如图1是两个大小不同的三角尺叠放在一起,图2是由它得到的抽象几何图形,已知$AB = AC$,$AE = AD$,$\angle CAB = \angle DAE$,且点$B$,$C$,$E$在同一直线上,$BC = 8cm$,$CE = 4cm$,连接$DC$。现有一只壁虎以$2cm/s的速度从C处往D$处爬,壁虎爬到$D$点所用的时间为6$s$。

答案： 6

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线,$AC = AF$,$AB = AE$,$\angle CAB + \angle FAE = 180^{\circ}$。求证：$EF = 2AD$。

答案：
证明:如图,延长AD到点H,使HD=AD,连接HC,则HA=2AD.
　
∵AD是BC边上的中线,
∴CD=BD.
　在△HDC和△ADB中,{CD=BD,∠HDC=∠ADB,HD=AD}
∴△HDC≌△ADB(SAS),
∴CH=AB,∠H=∠DAB,
∴CH//AB,
∴∠CAB+∠ACH=180°.
∵∠CAB+∠FAE=180°,
∴∠ACH=∠FAE.
∵AB=AE,
∴CH=AE.
　在△ACH和△FAE中,{CH=AE,∠ACH=∠FAE,AC=FA}
∴△ACH≌△FAE(SAS),
∴HA=EF,
∴EF=2AD.

13. 如图,已知$\triangle ABC$中,$\angle B = \angle C$,$AB = AC = 10cm$,$BC = 8cm$,$D为AB$的中点。如果点$P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C$运动,同时,点$Q在线段CA上由点C向点A$运动。
(1)若点$Q的运动速度与点P$的运动速度相等,经过$1s$后,$\triangle BPD与\triangle CQP$是否全等？请说明理由。
(2)若点$Q的运动速度与点P$的运动速度不相等,当点$Q$的运动速度为多少时,能够使$\triangle BPD与\triangle CQP$全等？

答案：
(1)经过1s后,△BPD与△CQP全等.
　理由:经过1s后,BP=3cm,CP=5cm,CQ=3cm,
∴BP=CQ.
∵D是AB的中点，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=5cm,
∴BD=CP.
　在△BPD和△CQP中,{BP=CQ,∠B=∠C,BD=CP}
∴△BPD≌△CQP(SAS).
(2)设点Q的速度为xcm/s,则ts后CQ的长度为txcm.
∵点P的速度为3cm/s,
∴ts后BP的长度为3tcm,CP=(8−3t)cm.
　由题意,得BP≠CQ,因此不可能有△DBP≌△PCQ.
　当DB=QC,∠B=∠C,BP=CP时,△DBP≌△QCP(SAS),
　则$\begin{cases}8 - 3t = 3t\\tx = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}t = \frac{4}{3}\\x = \frac{15}{4}\end{cases}$
∴当点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$cm/s时,能够使△BPD与△CQP 全等