《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = 2\angle C$,$BC = 2AB$. 求证:$\angle A = 90^{\circ}$.

答案：
证明:如图,作∠ABC的平分线BD,交AC于点D,
　　　　　　　　
则∠DBE=∠C,
∴BD=CD.
过点D作DE⊥BC于点E,
则BE=EC=$\frac{1}{2}$BC.
又
∵BC=2AB,
∴BE=AB.
在△EBD和△ABD中,$\left\{\begin{array}{l} BE=BA,\\ ∠DBE=∠DBA,\\ BD=BD,\end{array}\right.$
∴△EBD≌△ABD(SAS),
∴∠A=∠BED=90°.

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$\angle B = 2\angle C$. 求证:$AB + BD = AC$.

答案：
证明:如图,延长AB至点F,使BF=BD,连接DF,
　　　　　　　
∴∠F=∠BDF,
∴∠ABD=∠F+∠BDF=2∠F.
∵∠ABD=2∠C,
∴∠F=∠C.
∵AD平分∠BAC,
∴∠FAD=∠CAD.
在△AFD和△ACD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FAD=∠CAD,\\ ∠F=∠C,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴△AFD≌△ACD(AAS),
∴AF=AC,
∴AB+BD=AB+BF=AF=AC.

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AD\perp BC于D$,且$AB + BD = DC$. 求$\angle C$的度数.

答案：
解:如图,在DC上截取DH,使DH=DB,连接AH.
　　　　　　　
∵BD=DH,AD⊥BH,
∴AB=AH.
∵AB+BD=DC,DC=DH+HC,
∴AB=CH=AH,
∴∠B=∠AHD,∠C=∠HAC.
设∠C=x,则∠AHB=∠B=2x.
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴3x+120°=180°,解得x=20°,
∴∠C=20°.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是\triangle ABC$外一点,且$\angle ABD = 60^{\circ}$,$BD + DC = AB$. 求证:$\angle ACD = 60^{\circ}$.

答案：
证明:如图,延长BD至E,使CD=DE,连接AE,AD,
　　　　　　　　　
∵BD+CD=AB,BE=BD+DE,
∴BE=AB.
又
∵∠ABD=60°,
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AC,∠E=60°.
在△ACD和△AED中,$\left\{\begin{array}{l} AC=AE,\\ CD=ED,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△AED(SSS),
∴∠ACD=∠E=60°.