《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

9. 如图,$ AC = AD $,$ ∠1 = ∠2 $,要使 $ △ABC ≌ △AED $,应添加的条件是∠B=∠E(或∠C=∠D或AB=AE).(只需写出一个条件即可)

答案： ∠B=∠E(或∠C=∠D或AB=AE)

10. 如图,在 $ △ABC $ 中,$ E $ 是 $ AC $ 的中点,点 $ F $ 在 $ AB $ 上,$ CD // AB $,交 $ FE $ 的延长线于点 $ D $. 若 $ AB = 8 $,$ CD = 6 $,则 $ BF = $2.

答案： 2

11. 如图,$ △ABC $ 的面积为 20,$ CD $ 平分 $ ∠ACB $,过点 $ A $ 作 $ AD ⊥ CD $ 于点 $ D $,连接 $ BD $,则 $ △DBC $ 的面积为10.

答案： 10

12. 如图,四边形 $ ABCD $ 是正方形,点 $ E $ 是边 $ BC $ 的中点,$ ∠AEF = 90° $,且 $ EF $ 交正方形外角的平分线 $ CF $ 于点 $ F $. 连接 $ DE $,$ DF $. 若 $ ∠BAE = α $,则 $ ∠EDF $ 一定等于45°+α.

答案： 45°+α

13. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,$ ∠BAD = ∠BCD $,点 $ E $ 在 $ BD $ 的延长线上,点 $ F $ 在 $ DB $ 的延长线上,且 $ DE = BF $,连接 $ AE $,$ CF $. 求证：
(1)$ AD = CB $;
(2)$ AE // CF $.

答案：
(1)证明:
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB=∠CBD.在△ABD和△CDB中，∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠DCB，BD=DB，
∴ △ABD≌△CDB(AAS)，
∴ AD=CB.
(2)
∵ ∠ADB=∠CBD，
∴ 180°-∠ADB=180°-∠CBD，
∴ ∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中，DE=BF，∠ADE=∠CBF，AD=CB，
∴ △ADE≌△CBF(SAS)，
∴ ∠E=∠F，
∴ AE//CF.

14. 【问题情境】
如图1,在 $ Rt△ABC $ 中,$ ∠BAC = 90° $,$ AD ⊥ BC $ 于点 $ D $,可知 $ ∠BAD = ∠C $(不需要证明).
【特例探究】
(1) 如图2,$ ∠MAN = 90° $,射线 $ AE $ 在这个角的内部,点 $ B $,$ C $ 在 $ ∠MAN $ 的边 $ AM $,$ AN $ 上,且 $ AB = AC $,$ CF ⊥ AE $ 于点 $ F $,$ BD ⊥ AE $ 于点 $ D $. 求证：$ △ABD ≌ △CAF $.
【归纳证明】
(2) 如图3,点 $ B $,$ C $ 在 $ ∠MAN $ 的边 $ AM $,$ AN $ 上,点 $ E $,$ F $ 在 $ ∠MAN $ 内部的射线 $ AD $ 上,$ ∠1 $,$ ∠2 $ 分别是 $ △ABE $,$ △CAF $ 的外角,$ AB = AC $,$ ∠1 = ∠2 = ∠BAC $. 求证：$ △ABE ≌ △CAF $.
【拓展应用】
(3) 如图4,在 $ △ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AB ＞ BC $,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上,$ CD = 2BD $,点 $ E $,$ F $ 在线段 $ AD $ 上,$ ∠1 = ∠2 = ∠BAC $. 若 $ △ABC $ 的面积为 18,求 $ △ABE $ 与 $ △CDF $ 的面积之和.

答案：
(1)证明:
∵ CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°，
∴ ∠BDA=∠AFC=90°，
∴ ∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°，
∴ ∠ABD=∠CAF.在△ABD和△CAF中，∠BDA=∠AFC，∠ABD=∠CAF，AB=CA，
∴ △ABD≌△CAF(AAS).
(2)证明:
∵ ∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠ACF+∠CAF，
∴ ∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF.在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAF，AB=CA，∠BAE=∠ACF，
∴ △ABE≌△CAF(ASA).
(3)解:
∵ △ABC的面积为18,CD=2BD，
∴ △ACD的面积是$\frac{2}{3}$×18=12.由
(2)可得△ABE≌△CAF，即△ABE的面积=△CAF的面积，
∴ △ABE与△CDF的面积之和等于△ACF与△CDF的面积之和,即等于△ACD的面积,是12.