《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

18. (8分)如图,在△ABC中,AB = AC,点D在线段BC上,点E在AD的右侧,线段AE = AD,且∠DAE = ∠BAC,连接CE. 求证：∠BAC + ∠DCE = $180^{\circ}$.

答案： 证明:
∵ ∠DAE=∠BAC,
∴ ∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴ △BAD≌△CAE(SAS),
∴ ∠ACE=∠ABD.
∵ ∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴ ∠BAC+∠DCE=∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,即∠BAC+∠DCE=180°.

19. (8分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠BAD = $120^{\circ}$,∠ABC的平分线BE交AC于点E,过点E作EF ⊥ AB交BA的延长线于点F,且∠AEF = $60^{\circ}$,连接DE. 求证：DE平分∠ADC.

答案：
证明:如图,分别过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H.
∵ EF⊥AB,∠AEF=60°,
∴ ∠EAF=90°-∠AEF=90°-60°=30°.
∵ ∠BAD=120°,
∴ ∠CAD=180°-∠BAD-∠EAF=180°-120°-30°=30°,
∴ ∠EAF=∠CAD=30°,即AC平分∠DAF.
∵ EF⊥AF,EG⊥AD,
∴ EF=EG.
∵ BE是∠ABC的平分线,EF⊥AB,EH⊥BC,
∴ EF=EH,
∴ EG=EH,
∴ 点E在∠ADC的平分线上,
∴ DE平分∠ADC.

20. (10分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C = $90^{\circ}$,DE ⊥ AB于点E,点F在AC上,BD = DF.
(1)求证：CF = EB；
(2)若AB = 12,AF = 8,求CF的长.

答案：
(1)证明:
∵ AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB,
∴ DC=DE.在Rt△CDF和Rt△EDB中,{DF=DB,DC=DE,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴ CF=EB.
(2)解:设CF=x,则AC=AF+x=8+x,EB=x,
∴ AE=AB-BE=12-x.由
(1)知DC=DE.在Rt△ACD和Rt△AED中,{AD=AD,DC=DE,
∴ Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴ AC=AE,即8+x=12-x,解得x=2,即CF=2.

21. (10分)如图,在四边形ABCD中,AB = BC = 8cm,CD = 6cm,∠B = ∠C,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,点Q运动的速度是每秒2cm,点P运动的速度是每秒a cm(a ≤ 2),当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为t s.
(1)BQ = 2t cm,BP = ______(8-at)cm.(用含a或t的式子表示)
(2)运动过程中,连接PQ,DQ,△BPQ与△CDQ是否全等？若全等,请求出相应的t和a的值；若不全等,请说明理由.

答案：
(1)2t cm (8-at)cm
(2)△BPQ与△CDQ全等.理由:
∵ ∠B=∠C,
∴ △BPQ与△CDQ全等存在两种情况:①当△PBQ≌△QCD时,PB=CQ,BQ=CD,
∴ 8-at=8-2t,2t=6,
∴ a=2,t=3.②当△PBQ≌△DCQ时,PB=DC,BQ=CQ,
∴ 8-at=6,2t=8-2t.
∴ a=1,t=2.综上所述,△BPQ与△CDQ全等,此时a=2,t=3或a=1,t=2.