《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

20. (10分)(新考法·新定义阅读)点P(a,b)是平面直角坐标系xOy内一点,点P的轴变换定义为：当|a|＞|b|时,作点P关于x轴对称；当|a|≤|b|时,作点P关于y轴对称. 根据定义,解决问题：如图,平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,1),点B的坐标为(-1,m),其中m＜-1,点A,B轴变换后的对应点分别是点A',B'.
(1)求A',B'的坐标；
(2)若A'B= AB',求m的值.

答案：
:
(1)
∵A(2,1),又|2|＞|1|,
∴点A(2,1)关于x轴对称的点为A'(2,−1).
∵B(−1,m),m＜−1,即|-1|＜|m|,
∴点B(−1,m)关于y轴对称的点为B'(1,m).
(2)由
(1)知A'(2,−1),B'(1,m).
　　如图，延长AA',BB'相交于点C.
　　　　　　　
　　由对称知AA'=BB'=2.
　　又
∵A'B=AB',A'B’=B'A',
∴△AA'B'≌△BB'A'(SSS),
∴∠A'AB'=∠B'BA'.
∵A'B=AB',∠A'AB'=∠B'BA',∠C=∠C=90°,
∴△AB'C≌△BA'C(AAS),
∴A'C=B'C,
　　即−1−m=2−1,解得m=−2.

21. (10分)如图是遮阳伞的示意图,伞柄垂直于地面. 当伞收紧时,点P与点A重合；当伞慢慢撑开时,动点P由A向B移动；当点P到达点B时,伞张得最开. 已知伞在撑开的过程中,总有PM= PN,CM= CN.
(1)求证：PC垂直平分MN；
(2)若CN= PN= 60cm,当∠CPN= 60°时,求AP的长.

答案：
(1)证明:
∵CM=CN,
∴点C在MN的垂直平分线上.
∵PM=PN,
∴点P在MN的垂直平分线上，
∴PC垂直平分MN.
(2)解:
∵CN=PN=60cm,当伞收紧时,点P与点A重合,
∴AC=CN+PN=120cm.
　　当∠CPN=60°時,又
∵CN=PN,
∴△CPN是等边三角形，
∴PC=PN=60cm,
∴AP=AC−PC=60cm.