《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

10. 如图,在$\triangle ABD与\triangle ACD$中,$AB = AC$,$BD = DC$,点$E在AD$的延长线上,连接$BE$,$CE$。求证：
(1) $\angle ABD = \angle ACD$；
(2) $EB = EC$。

答案：
(1)证明:在△ABD和△ACD中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ DB=DC,\\ AD=AD,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠ABD=∠ACD.
(2)
∵△ABD≌△ACD,
∴∠BAE=∠CAE.
在△ABE和△ACE中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AE,\\ ∠BAE=∠CAE,\\ AB=AC,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△ACE(SAS),
∴EB=EC.

11. 如图,点$B$,$E$,$C$,$F$在一条直线上,$AB = DE$,$AC = DF$,$BE = CF$。
(1) 求证：$\angle A = \angle D$；
(2) 若$\angle A = 70^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,$FG平分\angle DFE交AC于点G$,求$\angle CGF$的度数。

答案：
(1)证明:
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,$\left\{\begin{array}{l} BC=EF,\\ AB=DE,\\ AC=DF,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△DEF(SSS),
∴∠A=∠D.
(2)解:在△ABC中,∠A=70°,∠B=40°,
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=70°.
由
(1)可知△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠DFE=70°.
∵FG平分∠DFE交AC于点G,
∴∠CFG=$\frac{1}{2}$∠DFE=35°.
又
∵∠ACB是△CFG的一个外角,
∴∠ACB=∠CFG+∠CGF,
∴70°=35°+∠CGF,
∴∠CGF=35°.

12. 如图,$AD = CB$,$AB = CD$,$BE\perp AC$,垂足为$E$,$DF\perp AC$,垂足为$F$。求证：
(1) $\triangle ABC\cong\triangle CDA$；
(2) $BE = DF$。

答案：
(1)证明:在△ABC和△CDA中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ CB=AD,\\ AC=CA,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△CDA(SSS).
(2)
∵△ABC≌△CDA,
∴∠BAC=∠DCA.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE和△CDF中,$\left\{\begin{array}{l} ∠BAC=∠DCA,\\ ∠AEB=∠CFD,\\ AB=CD,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF.

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$D为边BC$上一点,$E为边BA$上一点,且$AE = CD$,连接$AD$,$F为AD$的中点。连接$EF$并延长,交$AC于点G$,在$FG上截取点H$,使$FH = FE$,连接$GD$,若$HG = CG$。求证：
(1) $\triangle AEF\cong\triangle DHF$；
(2) $\angle B = 2\angle GDC$。

答案：
(1)证明:
∵F为AD的中点,
∴AF=DF.
在△AEF和△DHF中,$\left\{\begin{array}{l} AF=DF,\\ ∠AFE=∠DFH,\\ FE=FH,\end{array}\right. $
∴△AEF≌△DHF(SAS).
(2)
∵△AEF≌△DHF,
∴∠EAF=∠HDF,AE=DH,
∴DH//AB,
∴∠HDC=∠B.
∵AE=CD,
∴DH=CD.
在△DHG和△DCG中,$\left\{\begin{array}{l} DH=CD,\\ HG=CG,\\ DG=DG,\end{array}\right. $
∴△DHG≌△DCG(SSS),
∴∠GDC=∠GDH,
∴∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC,
∴∠B=2∠GDC.

14. 已知$AD = CB$,$E$,$F是线段AC$上两个动点(不与$A$,$C$重合),且有$DE = BF$。
(1) 若$E$,$F$两点运动到如图1所示的位置,且有$AF = CE$,求证：$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
(2) 若$E$,$F$两点运动到如图2所示的位置,仍有$AF = CE$,则$\triangle ADE\cong\triangle CBF$还成立吗？请说明理由。
(3) 若$E$,$F$两点不重合,且$AF = CE$,$AD和CB$平行吗？

答案：
(1)证明:
∵AF=CE,
∴AF+EF=EF+CE,即AE=CF.
在△ADE和△CBF中,$\left\{\begin{array}{l} AD=CB,\\ AE=CF,\\ DE=BF,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(2)解:成立.
理由:
∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.
在△ADE和△CBF中,$\left\{\begin{array}{l} AD=CB,\\ AE=CF,\\ DE=BF,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(3)解:结论:AD//BC.
如题图1,
∵△ADE≌△CBF,
∴∠A=∠C,
∴AD//BC.
如题图2,
∵△ADE≌△CBF,
∴∠A=∠C,
∴AD//BC.