《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

22. (10 分)我们规定两数 $a$,$b$ 之间的一种运算,记作 $[a,b]$：如果 $a^{c}= b$,那么 $[a,b]= c$。例如：$2^{3}= 8$,记作 $[2,8]= 3$。
(1) 根据以上规定求出：$[4,64]=$3,$[2024,1]=$0。
(2) 小明发现 $[5,3]+[5,4]= [5,12]$ 也成立,并证明如下：
设 $[5,3]= x$,$[5,4]= y$,
$\therefore 5^{x}= 3$,$5^{y}= 4$,
$\therefore 5^{x}\cdot 5^{y}= 5^{x + y}= 12$,
$\therefore [5,12]= x + y$,
$\therefore [5,3]+[5,4]= x + y= [5,12]$。
根据以上证明,请计算 $[2024,6]+[2024,7]= [2024,$42$。(3) 猜想 $[4,14]-[4,7]= [4,$2$],并说明理由。
理由:设$[4,14]=a,[4,7]=b,$$\therefore 4^{a}=14,4^{b}=7,$$\therefore 4^{a}÷4^{b}=4^{a-b}=14÷7=2,$$\therefore [4,2]=a-b,$$\therefore [4,14]-[4,7]=[4,2].$

答案：
(1)3 0
(2)42
(3)2理由:设$[4,14]=a,[4,7]=b,$$\therefore 4^{a}=14,4^{b}=7,$$\therefore 4^{a}÷4^{b}=4^{a-b}=14÷7=2,$$\therefore [4,2]=a-b,$$\therefore [4,14]-[4,7]=[4,2].$

23. (12 分)综合与实践
【问题背景】
通过对同一面积的不同表达和比较来理解整式乘法公式是常见的办法,如图 1,边长为 $(a + b)$ 的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形(如图 2),且在图 1 到图 2 的分割过程中,面积没有变化,由此解决下列问题。
【探索归纳】
(1) 若将图 1 中的大正方形看作一个整体,则它的面积是 $(a+b)^{2}$(用含 $a$,$b$ 的式子表示)；
(2) 图 2 中 4 个部分的面积之和是 $a^{2}+2ab+b^{2}$(用含 $a$,$b$ 的式子表示)；
(3) 因此,可以得到等式：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$；
【学以致用】简便计算：
(4) $3.14^{2}+6.28× 6.86 + 6.86^{2}$；
【拓展应用】
(5) 若图 2 中的长方形的长 $(b)$ 与宽 $(a)$ 的值分别为 $a = 12 - m$,$b = m - 3$,且满足 $(12 - m)(m - 3)= 18$,请求出 $(12 - m)^{2}+(m - 3)^{2}$ 的值。

答案：
(1)$(a+b)^{2}$
(2)$a^{2}+2ab+b^{2}$
(3)$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
(4)原式$=3.14^{2}+2×3.14×6.86+6.86^{2}$$=(3.14+6.86)^{2}$$=100.$
(5)$\because a=12-m,b=m-3,$$\therefore a+b=12-m+m-3=9.$$\because (12-m)(m-3)=18,$$\therefore ab=18,$$\therefore (12-m)^{2}+(m-3)^{2}$$=a^{2}+b^{2}$$=(a+b)^{2}-2ab$$=9^{2}-2×18$$=81-36$$=45.$