《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

1. 如图,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,DE⊥AC于点E.若EC= 3,则DC的长为(C)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： C

2. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠A= 15°,∠DBC= 60°,BC= 4,则AD的长是8.

答案： 8

3. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠C= 30°,AB⊥AD,AD= 4.求BC的长.

答案： 解:
∵AB=AC,∠C=30°,
∴∠B=∠C=30°,
∴∠BAC=120°,
∵AB⊥AD,
∴∠BAD=90°,
∴∠DAC=30°,
∴∠DAC=∠C,
∴AD=DC=4.
∵在Rt△ABD中,∠B=30°,
∴BD=2AD=8,
∴BC=BD+DC=8+4=12.

4. 如图,∠AOB= 60°,点P在边OA上,OP= 10,点M,N在边OB上,PM= PN.若MN= 2,则OM= (B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B

5. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,线段AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD= 1,则AD的长为2.

答案： 2

6. 如图,△ABC是等边三角形,延长BC到点E,使CE= $\frac{1}{2}$BC,D是AC的中点,连接ED并延长交AB于点F.
(1)若AF= 3,求AD的长；
(2)求证:DE= 2DF.

答案：
(1)解:
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,∠A=∠ACB=60°.
∵D为AC的中点，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC.
∵CE=$\frac{1}{2}$BC,
∴CD=CE,
∴∠E=∠CDE.
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠E=∠CDE=30°,
∴∠ADF=∠CDE=30°,
∴∠AFD=180°−∠A−∠ADF=90°.
∵AF=3,
∴AD=2AF=6.
(2)证明:如图，连接BD.
∵△ABC为等边三角形,D为AC的中点,
∴BD平分∠ABC,∠ABC=60°,
∴∠DBC=∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵∠BFD=180°−∠AFD=90°,
∴BD=2DF.
∵∠DBC=∠E=30°,
∴BD=DE,
∴DE=2DF.

7. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠A= 30°,AB= 4cm,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别在AB,BC边上匀速移动,它们的速度分别为$v_P$= 2cm/s,$v_Q$= 1cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.
(1)当t为多少时,△PBQ为等边三角形?
(2)当t为多少时,△PBQ为直角三角形?

答案：
(1)解:
∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°.
　当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形,
　即4−2t=t,解得t=$\frac{4}{3}$,
∴当t为$\frac{4}{3}$时，△PBQ为等边三角形.
(2)解:若△PBQ为直角三角形,分两种情况:
　①当∠BQP=90°时,则BP=2BQ,
　即4−2t=2t,解得t=1;
　②当∠BPQ=90°时,则BQ=2BP,
　即t=2(4−2t),解得t=$\frac{8}{5}$.
　综上所述,当t为1或$\frac{8}{5}$时，△PBQ为直角三角形