《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

11. 一个零件的形状如图所示,按规定 $ \angle A $ 应等于 $ 90^{\circ} $,$ \angle B $,$ \angle C $ 应分别是 $ 21^{\circ} $ 和 $ 32^{\circ} $,现测量得 $ \angle BDC = 145^{\circ} $,你认为这个零件合格吗？为什么？

答案： 解:这个零件不合格.
理由:如图,延长CD交AB于点E
∵∠BED=∠A+∠C,∠BDC=∠BED+∠B,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+21°+32°=143°.
∵∠BDC=145°,
∴这个零件不合格.

12. 如图,$ CE $ 是 $ \triangle ABC $ 的外角 $ \angle ACD $ 的平分线,且 $ CE $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $。
(1)若 $ \angle B = 30^{\circ} $,$ \angle ACB = 40^{\circ} $,求 $ \angle E $ 的度数；
(2)求证：$ \angle BAC = \angle B + 2 \angle E $。

答案：
(1)解:
∵∠ACB=40°,
∴∠ACD=180° - 40°=140°.
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD=70°.
∵∠DCE=∠B+∠E,∠B=30°,
∴∠E=∠DCE - ∠B=70° - 30°=40°.
(2)证明:
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE.
∵∠DCE=∠B+∠E,
∴∠ACE=∠B+∠E.
∵∠BAC=∠ACE+∠E,
∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AE $ 是 $ \angle CAB $ 的平分线,$ CD \perp AB $,$ AE $,$ CD $ 交于点 $ F $。
(1)若 $ \angle DCB = 40^{\circ} $,求 $ \angle CEF $ 的度数；
(2)求证：$ \angle CEF = \angle CFE $。

答案：
(1)解:
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∴∠BAC+∠ACD=90°,∠B=90° - ∠DCB=50°.
∵∠ACB=90°,
∴∠DCB+∠ACD=90°,
∴∠BAC=∠DCB=40°.
∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠BAE=20°,
∴∠CEF=∠BAE+∠B=20°+50°=70°.
(2)证明:
∵∠B+∠BCD=∠BCD+∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠B.
∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠BAE.
∵∠CFE=∠CAE+∠ACD,∠CEF=∠BAE+∠B,
∴∠CEF=∠CFE.

14. 【问题背景】
(1)如图 1 的图形我们把它称为“8 字形”,请说理证明 $ \angle A + \angle B = \angle C + \angle D $；
【问题探究】
(2)如图 2,奋斗小组在图 1 的基础上,分别作 $ \angle ABC $ 与 $ \angle ADC $ 的平分线交于点 $ P $,若 $ \angle A + \angle C = 50^{\circ} $,求 $ \angle P $ 的度数；
【拓展延伸】
(3)智慧小组在图 1 的基础上,分别作射线 $ BP $,$ DP $,使得 $ \angle ABP = \frac{1}{n} \angle ABC $,$ \angle ADP = \frac{1}{n} \angle ADC $,两条射线交于点 $ P $,请直接写出 $ \angle A $,$ \angle C $,$ \angle P $ 之间的数量关系。

答案：
(1)证明:如图1,记AD与BC的交点为E,则∠AEC为△ABE与△CDE的外角,
∴∠AEC=∠A+∠B,∠AEC=∠C+∠D,
∴∠A+∠B=∠C+∠D.
(2)解:如图2,记AD与BP的交点为F,PD与BC的交点为G,
∴∠AFP=∠A+∠ABP=∠P+∠ADP,∠PGC=∠C+∠PDC=∠P+∠PBC,
∴2∠P+∠ADP+∠PBC=∠A+∠ABP+∠C+∠PDC.
∵BP,DP分别平分∠ABC和∠ADC,
∴∠ABP=∠PBC,∠ADP=∠PDC,
∴2∠P=∠A+∠C.
∵∠A+∠C=50°,
∴∠P=25°.
(3)解:设∠ABP=α,∠ADP=β,
则∠PBC=(n - 1)α,∠PDC=(n - 1)β,
$\begin{cases} α+∠A=β+∠P①, \\ (n - 1)α+∠P=(n - 1)β+∠C②. \end{cases}$
由①可得α - β=∠P - ∠A,
由②可得(n - 1)(α - β)=∠C - ∠P,
∴(n - 1)(∠P - ∠A)=∠C - ∠P,
∴n∠P=(n - 1)∠A+∠C.