《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

12. (新考法·开放性试题)一个分子为$x - 5$的分式,在$x \neq 1$时有意义,请写出一个符合上述条件的分式：$\frac{x-5}{x-1}$(答案不唯一).

答案： $\frac{x-5}{x-1}$(答案不唯一)

13. 若分式$\frac{4}{2x + 1}$的值为整数,则$x$的整数值为0 或-1.

答案： 0 或-1

14. 已知分式$\frac{a^{2}}{1 - 2a}$的值为正数,则$a$的取值范围是$a＜\frac{1}{2}$且$a≠0$.

答案： $a＜\frac{1}{2}$且$a≠0$

15. (新考法·学科内融合)若$\frac{\vert 16 - a^{2}\vert + \sqrt{a - 2b}}{a + 4} = 0$,则$a^{b}$的平方根为±4.

答案： ±4

16. 已知分式$\frac{x - b}{2x + a}$,当$x = - 4$时,分式无意义；当$x = 2$时,分式的值为$0$,求分式$\frac{a + b}{a - 3b}$的值.

答案： 解:
∵当$x=-4$时,分式$\frac{x-b}{2x+a}$无意义,
∴当$x=-4$时,$2x+a=0$,即$-8+a=0$,解得$a=8$.
∵当$x=2$时,分式$\frac{x-b}{2x+a}$的值为0,
∴当$x=2$时,$x-b=0$,即$2-b=0$,解得$b=2$,
∴$\frac{a+b}{a-3b}=\frac{8+2}{8-3×2}=5$.

17. 已知$(m + n)^{2} = 25$,$(m - n)^{2} = 9$,求$\frac{mn}{m^{2} + n^{2}}$的值.

答案： 解:
∵$(m+n)^2=25$,$(m-n)^2=9$,
∴$m^2+2mn+n^2=25$①,$m^2-2mn+n^2=9$②.①+②,得$2(m^2+n^2)=34$,
∴$m^2+n^2=17$.①-②,得$4mn=16$,
∴$mn=4$,
∴$\frac{mn}{m^2+n^2}=\frac{4}{17}$.

18. 某玩具厂接到一批制作$1000$个手工玩偶的订单,计划$m$天完成任务.
(1)平均每天需要制作$\frac{1000}{m}$个；
(2)现在为了适应市场需求,实际要提前$5$天交货,则平均每天需要制作$\frac{1000}{m-5}$个；
(3)在(2)的条件下,当$m = 25$时,求实际平均每天需要制作多少个.
解:当$m=25$时,$\frac{1000}{m-5}=\frac{1000}{25-5}=50$(个).答:实际平均每天需要制作50个.

答案： 解:
(1)$\frac{1000}{m}$
(2)$\frac{1000}{m-5}$
(3)当$m=25$时,$\frac{1000}{m-5}=\frac{1000}{25-5}=50$(个).答:实际平均每天需要制作50个.

19. 阅读理解：解不等式$(x - 2)(x + 3) \gt 0$.
解：由实数的运算法则“两数相乘,同号得正”,
得①$\begin{cases}x - 2 \gt 0,\\x + 3 \gt 0\end{cases} $或②$\begin{cases}x - 2 \lt 0,\\x + 3 \lt 0.\end{cases} $
解不等式组①,得$x \gt 2$.
解不等式组②,得$x \lt - 3$.
$\therefore原不等式的解集为x \gt 2或x \lt - 3$.
解答下列问题：
(1)解不等式$x^{2} - 9 \gt 0$；
(2)若分式$\frac{x + 1}{x - 2}$的值为负数,求$x$的取值范围.

答案： 解:
(1)$x^2-9＞0$,$(x+3)(x-3)＞0$,由实数的运算法则“两数相乘,同号得正”,得①$\left\{\begin{array}{l} x+3＞0,\\ x-3＞0\end{array}\right. $或②$\left\{\begin{array}{l} x+3＜0,\\ x-3＜0\end{array}\right. $解不等式组①,得$x＞3$.解不等式组②,得$x＜-3$.
∴原不等式的解集为$x＞3$或$x＜-3$.
(2)由实数的运算法则“两数相除,异号得负”,得①$\left\{\begin{array}{l} x+1＞0,\\ x-2＜0\end{array}\right. $或②$\left\{\begin{array}{l} x+1＜0,\\ x-2＞0\end{array}\right. $解不等式组①,得$-1＜x＜2$.解不等式组②,无解.
∴若分式$\frac{x+1}{x-2}$的值为负数,则$x$的取值范围为$-1＜x＜2$.