《2025年辽宁作业分层培优学案八年级数学上册人教版》

18. 已知$9^{a}×5×15^{b}= 3^{5}×5^{2}$,求$a$,$b$的值。

答案： 解:$\because 9^{2a}×5×15^{b}=3^{5}×5^{2},$$\therefore 3^{2a}×5×(3×5)^{b}=3^{5}×5^{2},$$\therefore 3^{2a}×5×3^{b}×5^{b}=3^{5}×5^{2},$$\therefore 3^{2a+b}×5^{b+1}=3^{5}×5^{2},$$\therefore 2a+b=5,b+1=2,$解得$a=2,b=1.$

19. (新考法·材料阅读)阅读下列两则材料,解决问题：
材料一：比较$3^{22}和4^{11}$的大小。
解：$\because4^{11}= (2^{2})^{11}= 2^{22}$,且$3＞2$,
$\therefore3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$。
小结：指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小。
材料二：比较$2^{8}和8^{2}$的大小。
解：$\because8^{2}= (2^{3})^{2}= 2^{6}$,且$8＞6$,
$\therefore2^{8}＞2^{6}$,即$2^{8}＞8^{2}$。
小结：底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小。
【方法运用】
(1) 比较$3^{44}$,$4^{33}$,$5^{22}$的大小；
(2) 比较$81^{31}$,$27^{41}$,$9^{61}$的大小；
(3) 比较$3^{12}×5^{10}与3^{10}×5^{12}$的大小。

答案： 解:
(1)$\because 3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11},4^{33}=(4^{3})^{11}=64^{11},$$5^{22}=(5^{2})^{11}=25^{11},$且$81＞64＞25,\therefore 3^{44}＞4^{33}＞5^{22}.$
(2)$\because 81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124},27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123},$$9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122},$且$124＞123＞122,\therefore 81^{31}＞27^{41}＞9^{61}.$
(3)$\because 3^{12}×5^{10}=3^{10}×5^{10}×3^{2}=9×(3×5)^{10}=9×15^{10},$$3^{10}×5^{12}=3^{10}×5^{10}×5^{2}=25×(3×5)^{10}=25×15^{10},$且$9＜25,\therefore 3^{12}×5^{10}＜3^{10}×5^{12}.$